一些回忆题里面不清楚的像高手求教，希望对下答案

dragoonlpUID：2554934

1, 一个老师分给12个学生4种玩具，每人一个。玩具有4个toys，3个小狗，2个小猫，1个其他，求分配种数。（一共就10个玩具不够分啊。。。还是我理解错了）
2, 满足a^b=b^a正整数，其中a<b.

3, 矩阵A^2=A,满足 1：可对角化; 2：特征值是 1;   3：特征值是0或者1 （我觉得3对）

4 问R^n种一个紧连通集的补集的连通分支最多几个？答案有：0; 1;  2;  >=3;  无上界（我没有看懂。。。）

5，问以下哪个多项式不在二元域1+x^2和1+x^3生成的理想里？选项有1+x^4, 1+x^6. （选项不全，但是有没有人可以解释一下：二元域1+x^2和1+x^3生成的理想是什么意思？）

6，哪些性质可以使得环R具有，但是R*R（pointwise）却没有。有选项：1，R is field。2，可交换。3，有限。

7，consider the maps g which maps {1,2,3,4,5} onto {11,12,13,14} and g(1) 不等于g(2)。how many such g are there?

8，cos(97x)=x有多少解

9，抛硬币，知道出现4种某一面为止，问不出现连续2次相同的情况 （以前有人问过但是木有得到解答）

10，A is a n dimension matrix. If (A-I)^2=0, then which of the following is correct.   1：A=I;  2: detA=I; 3:tr(A)=I

11， what is the new function of the graph of y=4x+5under of transformation of (x,y)-> (3x,3y)?

dragoonlpUID：2554934

大家都来啊，周六就考试了！！！！谢谢高手！

dragoonlpUID：2554934

附上自己算出的答案：

2，是1个
3， 选1和3
4，无限
5，给出的两个都可以生成
7，216
9，0.25
10，2&3

petertheUID：2183645

我来补充一些思路

第2题：取log得到 (loga)/a = (logb)/b, 然后分析logx/x在x>1上函数图像，x=1和x->无穷都是0，中间在e=2.71828..处达到极大值，尝试2和4，2^4=4^2(=16)，但是x<=e上递增，x>=e上递减，所以4以后再没有能代入的整数，应该就只有一个解a=2, b=4
第3题：A^2=A，如果不能对角化，必然有至少一个特征值重数>=2，做出Jordan标准型，然后有重数的Jordan块平方之后必然不等于原来的Jordan块(我也不是数学专业的，估计这么走比较弯)，所以应该是必然可以对角化吧
           其次特征值可以不全是1，所以1和3
第4题：任意取个闭圆盘，可以在里面掏出n个洞，所以无上界
第6题：2和3明显是对的，但是1不见得，(0,x)或者(x,0)这种就是不可逆的非零元
第8题：变成cos(y)=y/97，y=31pi的时候右边已经>1，y=30pi的时候右边还<1，所以x>0上有31个交点，左边应该类似

周六也考了，共勉

dragoonlpUID：2554934

4# peterthe
多谢兄弟，不知道你对这个题目有什么看法？

是个老题了，也被讨论了很多次但是我找不到一个有说服力的答案

就是If f : X -> Y, f is continuous & bijective

Then

I: if X is compact, then Y is compact

这个对吗？
有很多人说是对的，并且在cracking上找到了依据。我仔细看了一眼cracking上面的，上面说的是：
If C is a compact SUBSET of X, then f(C) is a compact subset of Y.

这里是f(C)，并不是Y，但是函数又是bijective的。。。所以f(C)=Y。。。。

但是我记得以前有人说第一个是错的。。。应该要求f和f的inverse都是连续的才可以。。。

lh22mUID：2308567

5# dragoonlp
f是1-1 onto, then f inverse 存在
然后f is continuous, then f inverse也是continuous吧

我今天问我的老师 他说1和3都对

lh22mUID：2308567

7，consider the maps g which maps {1,2,3,4,5} onto {11,12,13,14} and g(1) 不等于g(2)。how many such g are there?
有一个求onto的公式   4^5-(4choose1)*3^5+(4choose2)*2^5-(4choose3)*1^5=240
然后要求g(1) not equal to g(2) 所以减掉g(1)=g(2)的情况 是4choose1 剩下3个 就是3！
240-4*3！=240-24=216 这样算应该比较麻烦
9，抛硬币，知道出现4种某一面为止，问不出现连续2次相同的概率
最多只能抛7次肯定会出现4种同一面 H=head T=tail
只有扔7次的时候才能不出现连续2次相同 HTHTHTH  THTHTHT
扔4次有2种情况 扔5次有2*(5-1choose1) 扔6次有2*(6-1choose2) 扔7次有2*(7-1choose3) negative binomial distribution
P=2*(0.5)^7/(2*(0.5)^4+2*(4choose1)*(0.5)^5+2*(5choose1)*(0.5)^6+2*(6choose3)*(0.5)^7) 这个应该会算死人的吧
11  y=4x+5under of transformation of (x,y)-> (3x,3y)?
3y=3(4x+5)  3y=4*3x+15  new function y=4x+15 这个不确定

dragoonlpUID：2554934

7# lh22m
我觉得11题应该是把x/3和y/3带回方程里面进行计算。因为无论怎样方程都应该是f(x)=y这个形式。而我们新的x'=x/3和y'=y/3



关于那个扔硬币的。我是这个考虑的。

按照题意，如果我没有理解错的话，就是在结束前不能出现两次一样的。如果这样的话我们就只有两种考虑：

如果是HHHH结束的话，那么就是前面只能是 HHHH  THHHH   HTHHHH     THTHHHH    HTHTHHHHH

所以换成概率的话就是 (1+1/2+(1/2)^2+(1/2)^4+.......) (1/2)^4 = 1/8

TTTT结束的情况和HHHH相同

所以最后是1/4

不知道这样做有没有道理？

lxm_1117UID：2360299

for question 3, it is said on the book primer of abstract mathematics by ash that :' if T has n distinct eigenvalues, we are going to show that T is diagonalsizable.' good luck!!

dragoonlpUID：2554934

再添加一个问题：

下面哪个命题和映射f连续等价：

I，任取集合A，(f^(-1)(A的内部))=(f^(-1)(A))的内部
II，(f^(-1)(A的闭包))=(f^(-1)(A))的闭包
III，f是开映射

我知道3肯定错，一应该是对的，但是不确定II

petertheUID：2183645

5# dragoonlp

应该是没问题吧，紧性是通过连续直接传递到像集上，道理可以通过在像集里任取开覆盖，用连续性还原到原来空间里找到有限子覆盖之后再对应回去

petertheUID：2183645

6# lh22m

这是个重要误区，f continuous, bijective， f inverse不见得continuous，拓扑书上著名反例：半开半闭区间弯成圆S1，逆映射不是连续的

dragoonlpUID：2554934

11# peterthe
恩，你说的对

不知道你对我新的那个帖子怎么看？

petertheUID：2183645

10# dragoonlp

关于
I，任取集合A，(f^(-1)(A的内部))=(f^(-1)(A))的内部
II，(f^(-1)(A的闭包))=(f^(-1)(A))的闭包

我在尤承业的拓扑书上找到，1.2节习题1(3)说f连续的等价条件是(f^(-1)(A))的闭包属于(f^(-1)(A的闭包))
实际上可以用半开半闭区间到单位圆的例子说明I和II都是不对的
f:[0,2pi)->S1   t |-> exp(it)   前者取子集拓扑，则f连续
首先取A=S1和闭上半平面的交集，则f^(-1)(A)=[0,pi],  f^(-1)(A的内部)=(0,pi),  f^(-1)(A)的内部=[0,pi),  所以I不成立
再取 A=S1交下半开平面，则f^(-1)(A)=(pi,2pi),  f^(-1)(A的闭包)=[pi,2pi)并{0},  f^(-1)(A)的闭包=[pi,2pi), 所以II也不成立

并且我觉得考场上遇到这种问题都可以用半开半闭区间折成单位圆的例子来试验反例，只要贴着粘合处作文章就行

dragoonlpUID：2554934

14# peterthe
明白了！确实是这个题目很容易骗人啊

你对那个exp(ax)的积分有什么想法？我觉得答案就是(a-b)log2/ab，但是那些要带入x的消不掉还是