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丘成桐: 数学的内容、方法和意义 [复制链接]

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发表于 2004-8-15 22:46:28 |显示全部楼层
送交者: yaod 2004年8月14日13:37:54 于 [教育与学术]http://www.bbsland.com  

  
今天要讲的是数学的内容、方法和意义,这原是苏联人写的一本书的书名,和今天的演讲
内容借过来作为演讲的名称。

今天是北大百周年校庆,五四运动便是北大学生发动的。作为演讲的引子,让我们先简略
地回顾一下“五四”前后中西文化之争。十九世纪中业以后,中国对西文科技的认识,是
“船竖炮利”,在屡次战争失利后,张之洞提出了“中学为体、西学为用”的主张,即以
传统儒家精神为主,加入西方的技术。到了五四运动前后便有了科玄论战。以梁漱溟为主
的一派以东方精神文明为上,捍卫儒学,以为西方文明强调用理性和知识去征服自然,缺
乏生命之道,人变成机械的奴隶;而中国文化自适自足,行其中道,必能发扬光大。其时
正值第一次世界大战结束,西方哲学家罗素等对西方物质文明深恶痛绝,也主张向东方学
习。另一派以胡适为首者则持相反意见,他们以为在知识领域内科学万能,人生观由科学
方法统驭,未经批判及逻辑研究的,皆不能成为知识。

科玄论战最终不了了之,并无定论。两派对近代基本科学皆无深究,也不收集数据,理论
无法严格推导,最后变得空泛。其实这便是中国传统文化之一特点。一方面极抽象,有质
而无量,儒道皆云天人合一,禅宗又云不立文字,直指心性。另一方面则极实际,庄子说
“蔽于天而不知人”。古代的科学讲求实用,一切为人服务,四大发明之一指南针、造纸
、印刷术、火药莫不如此。要知道西方技术之基础在科学,实际和抽象的桥梁乃是基本科
学,而基本科学的工具和语言就是数学。

历代不少科学家对数学都有极高的评价。我们引一些物理学家的话作为例子。R.Feyman在
「物理定律的特性」一书中说我们所有的定律,每一条都由深奥的数学中的纯数学来叙述
,为什么?我一点也不知道。E.Wigner说数学在自然科学中有不合常理的威力。F.Dyson
说:在物理科学史历劫不变的一项因此,就是由数学想像力得来的关键贡献,基本物理既
然由高深的数学来表示。应用物理,流体等大自然界的一切现象,只要能得到成熟的了解
时,都可以用数学来描述。写过「湖滨散记」的哲人梭罗也说有关真理最明晰,最美丽的
陈述,最终必以数学形式展现。

其实数学家不只从自然界吸收养分,也从社会科学和工程中得到启示。人类心灵中由现象
界启示而呈现美的概论,只要能够用严谨逻辑来处理的都是数学家研究的对象。数学和其
他科学不同之处是容许抽象,只要是美丽的,就足以主宰一切,数学和文学不同之处是一
切命题都可以由公认的少数公理推出。数学正式成为系统性的科学始于古希腊的欧机里德
,他的「几何原本」是不朽名作。明末利玛窦和徐光启把它译成中文,并指出“十三卷中
五百余题,一脉贯通,卷与卷,题与题相结倚,一先不可后,一后不可先,累累交承 渐
次积累,终竟乃发奥微之义”。复杂深奥的定理都可以由少数简明的公理推导,至此真与
美得到确定的意义,水乳交融,再难分开。值得指出,欧机里德式的数学思维,直接影响
了牛顿在物理上三大定律的想法,牛顿距著「自然哲学的数学原理」与「几何原本」一脉
相承。从爱因斯坦到现在的物理学家都希望完成统一场论,能用同一种原理来解释宇宙间
的一切力场。

数学的真与美,数学家的体会深刻。Sylvester说“它们揭露或阐明的概念世界,它们导
致的对至美与秩序的沉思,它各部分的和谐关联,都是人类眼中数学最坚实的根基”。数
学史家M.Kline说“一个精彩巧妙的证明,精神上近乎一首诗”。当数学家吸收了自然科
学的精华,就用美和逻辑来引导,将想像力发挥的淋漓尽致,创造出连作者也惊叹不已的
命题。大数学家往往有宏伟的构思,由美作引导,例如Weil猜想促成了重整算数机何的庞
大计划,将拓扑和代数几何融入整数方程论中。由A.Grothendieck和P.Deligne完成的Wei
l猜想,可说是抽象方法的伟大胜利。回顾数学的历史,能够将几个不同的重要观念自然
融合而得出的结果,都成为数学发展的里程碑。爱因斯坦将时间和空间的观念融合,成为
近百年来物理学的基石;三年前A.Wiles对自守型式和Fermat最后定理的研究,更是扣人
心魄。数学家能够不依赖自然科学的启示得出来的成就,令人惊异,这是因为数字和空间
本身就是大自然的一部分,它们的结构也是宇宙结构的一部分。然而,我们必须紧记,大
自然的奥秘深不可测,不仅仅在数字和空间而已,它的完美无处不在,数学家不能也不应
该抗拒这种美。

本世纪物理学两个最主要的发现:相对论和量子力学对数学造成极大的冲击。广义相对论
使微分几何学“言之有物”,黎曼几何不再是抽象的纸上谈兵。量子场论从一开始就让数
学家迷惑不已,它在数学上作用仿如魔术。例如Dirac方程在几何上的应用使人难以捉摸
,然而它又这么强而有力地影响着几何的发展。超对称是最近二十年物理学家发展出来的
观念,无论在实验或理论上都颇为诡秘,但借着超弦理论的帮助,数学家竟能解决了百多
年来悬而未决的难题。超弦理论在数学上的真实性是无可置疑的,除非造化弄人,它在物
理上终会占一席位。

上世纪末数学公理化运动使数学的严格性坚如盘石,数学家便以为工具已备,以后工作将
无往而不利。本世纪初Hilbert便以为任何数学都能用一套完整的公理推导出所有的命题
。但好景不常,Godel在931年发表了著名的论文“「数学原理」中的形式上不可断定的命
题及有关系统I”。证明了包含着通常逻辑和数论的一个系统的无矛盾性是不能确立的。
这表示Hilbert的想法并非是全面的,也表示科学不可能是万能的。然而由自然界产生的
问题,我们还是相信Hilbert的想法是基本正确的。

数学家因其品禀各异,大致可分为下列三种:

(一)创造理论的数学家。这些数学家工作的模式,又可粗分为七类。

●从芸芸现象中窥见共性。从而提炼出一套理论,能系统地解释很多类似的问题。一个明
显的例子便是上世纪末Lie在观察到数学和物理中出现大量的对称后,便创造出有关微分
方程的连续变换群论。李群已成为现代数学的基本概念。

●把现存理论推广或移植到其它结构上。例如将微积分由有限维空间推广到无限维空间,
将微积分用到曲面而得到连络理论等便是。当Ricci,Christofel等几何学家在曲面上研究
与座标的选取无关的连络理论时,他们很难想像到它在数十年后的Yang-Mills场论中的重
要性。

●用比较方法寻求不同学科的共同处而发展新的成果。例如:Weil比较整数方程和代数几
何而发展算数几何:三十年前Langlands结合群表示论和自守形式而提出“Langlands纲领
”,将可以交换的领域理论推广到不可交换的领域去。

●为解释新的数学现象而发展理论。例如:Gauss发现了曲面的曲率是内蕴(即仅与其第
一基本形式有关)之后,Riemann便由此创造了以他为名的几何学,成就了近百年来的几
何的发展;H.Whitney发现了在纤维丛上示性类的不变性后,Pontryagin和陈省身便将之
推广到更一般的情况,陈示性类在今日已成为拓扑和代数几何中最基本的不变量。

●为解决重要问题而发展理论。例如J.Nash为解决一般黎曼流形等距嵌入欧氏空间而发展
的隐函数定理,日后自成学科,在微分方程中用处很大。而S.Smale用h-协边理论解决了
五维或以上的Poincare猜想后,此理论成为微分拓扑的最重要工具。

●新的定理证明后,需要建立更深入的理论。如Atiyah-Singer指标定理,Donaldson理论
等提出后,都有许多不同的证明。这些证明又引起重要的工作。

●在研究对象上赋予新的结构。Kahler在研究复流形时引入了后来以他为名的尺度;近年
Thurston在研究三维流形时,也引进了“几何化”的概念。一般而言,引进新的结构使广
泛的概念得到有意义的研究方向。有时结构之上还要再加限制,如Kahler流形上我们要集
中精神考虑Kahler-Einstein尺度,这样研究才富有成果。

(二)从现象中找寻规律的数学家。这些数学家或从事数据实验,或在自然和社会现象中
发掘值得研究的问题,凭着经验把其中精要抽出来,作有意义的猜测。如Gauss检视过大
量质数后,提出了质数在整数中分布的定律;Pascal和Fermat关于赌博中赔率的书信,为
现代概率论奠下基石。五十年代期货市场刚刚兴起,Black和Scholes便提出了期权定价的
方程,随即广泛地应用于交易上。Scholes亦因此而于去年获得诺贝尔的经济学奖。这类
的例子还有很多,不胜枚举。

话说回来,要作有意义的猜测并非易事,必须对面对的现象有充分的了解。以红楼梦为例
,只要看了前面六七十回,就可以凭想像猜测后面大致如何。但如果我们对其中的诗词不
大了解,则不能明白它的真义。也无从得到有意义的猜测。

(三)解决难题的数学家。所有数学理论必须能导致某些重要问题的解决,否则这理论便
是空虚无价值的。理论的重要性必与其能解决问题的重要性成正比。一个数学难题的重要
性在于由它引出的理论是否丰富。单是一个漂亮的证明并不是数学的真谛,比如四色问题
是著名的难题,但它被解决后我们得益不多,反观一些难题则如中流砥柱,你必须将它击
破,然后才能登堂入室。比如一日不能解决Poincare猜测,一日就不能说我们了解三维空
间!我当年解决Calabi猜测,所遇到的情况也类似。

数学家要承先启后,解掉难题是“承先”,再进一步发展理论,找寻新的问题则是“启后
”。没有新的问题数学便会死去,故此“启后”是我们数学家共同的使命。我们最终目标
是用数学为基础,将整个自然科学,社会科学和工程学融合起来。

自从A
Wiles在1994年解决了Fermat大定理后,很多人都问这有什么用。大家都觉得Fermat大定
理的证明是划时代的。它不仅解决了一个长达350年的问题,还使我们对有理数域上的椭
圆曲线有了极深的了解;它是融合两个数论的主流——自守式和椭圆曲线——而迸发出来
的火花。值得一提的是,近十多年来椭圆曲线在编码理论中发展迅速,而编码理论将会在
电脑贸易中大派用场,其潜力无可估计。

最后我们谈谈物理学家和数学家的差异。总的来说,在物理学的范畴内并没有永恒的真理
,物理学家不断努力探索,希望能找出最后大统一的基本定律,从而达到征服大自然的目
的。而在数学的王国里,每一条定理都可以从公理系统中严格推导,故此它是颠扑不破的
真理。数学家以美作为主要评选标准,好的定理使我们从心灵中感受大自然的真与美,达
到“天地与我并生,万物与我为一”的悠然境界,跟物理学家要征服大自然完全不一样。

物理学家为了捕捉真理,往往在思维上不断跳跃,虽说是不严格和容易犯错,但他们欲能
把自然现象看得更透更远,这是我们十分钦佩的。毕竟数学家要小心奕奕、步步为营,花
时间把所有可能的错误都去掉,故此这两种做法是互为表里,缺一不可的。

在传统文化中,我们说立德,但即从不讨论如何求真,不求真,则何以立德?我们又说“
温柔敦厚,诗教也”,但只是含糊的说美,数学兼讲真美,是中华民族需要的基本科学。
茶室设在一家玉石店的楼上,红木桌椅靠着朱红漆就的窗子,窗外是早春淡薄的的暖意。我也许会讲到她的快乐,她在望着他时心中升起的至深的亲近。但我不会描述他们眼睛里共同的悲伤——我不会描述那一刻的震动,当他的手臂终于穿过他们之间不可逾越的距离,他的手握住她的手指。
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发表于 2004-8-15 22:52:37 |显示全部楼层
龚昇: 数学历史的启示


送交者: 100年 2004年8月13日07:30:24 于 [教育与学术]http://www.bbsland.com  

  

  一、百年前的讲演

  一个世纪前,德国数学家希尔伯特(1862—1943)在巴黎国际数学家大会上作了题
为《 数学问题》的著名讲演。这是载入数学史册的重要讲演。他在讲演的前言和结束语
中,对数 学的意义、源泉、发展过程及研究方法等发表了许多精辟的见解。而整个讲演
的主体,则是 他根据19世纪数学研究的成果和发展趋势而提出的23个数学问题,这些问
题涉及现代数学的 许多重要领域。100年来,这些问题一直激发着数学家们浓厚的研究
兴趣。100年过去了,这 些问题近一半已经解决或基本解决,还有些问题虽取得了重大
进展,但尚未最后解决,如黎曼猜想、哥德巴赫猜想等。

  100年过去了,现在回过头来看,对希尔伯特提出的23个问题,有不少评论。很多人
认 为,这些问题对推动20世纪数学的发展起了很大的作用,当然也有评论曾指出其不足
之处, 例如,这23个问题中未能包括拓朴学、微分几何等在20世纪成为前沿学科领域中
的数学问题 ,除数学物理外很少涉及应用数学,等等,当然更不会想到20世纪电脑的大
发展及其对数学 的重大影响。20世纪数学的发展实际上远远超出了希尔伯特所预示的范

发展及其对数学 的重大影响。20世纪数学的发展实际上远远超出了希尔伯特所预示的范
围。

  希尔伯特是19世纪和20世纪数学交界线上高耸着的三位伟大数学家之一,另两位是
庞加 莱(1854—1912)及克莱因(1849—1925)。他们的数学思想及对数学的贡献,既
反射出19 世纪数学的光辉,也照耀着20世纪数学前进的道路。

  希尔伯特是在上一次世纪交替之际作讲演的,现在又一个新的世纪开始了,再来看
看他 的讲演,其中一些话仍然适用,例如在讲演一开始,他说:“我们当中有谁不想揭
开未来的 帷幕,看一看在今后的世纪里我们这门科学发展的前景和奥秘呢?我们下一代
的主要数学思 潮将追求什么样的特殊目标?在广阔而丰富的数学思想领域,新世纪将会
带来什么样的新方 法和新成果?”他还说:“历史教导我们,科学的发展具有连续性。
我们知道,每个时代都 有它自己的问题,这些问题后来或者得以解决,或者因为无所裨
益而被抛到一边并代之以新 的问题。因为一个伟大时代的结束,不仅促使我们追溯过去
,而且把我们的思想引向那未知 的将来。”

  20世纪无疑是一个数学的伟大时代,21世纪的数学将会更加辉煌。“每个时代都有
它自 己的问题”,20世纪来临时,希尔伯特提出了他认为是那个世纪的23个问题。这些
问题对20 世纪数学的发展起了很大的推动作用,但20世纪数学的成就却远远超出他所提
出的问题。那 么21世纪的问题又是什么呢?希尔伯特在巴黎国际数学家大会上提出这些
问题时,才38岁, 但已经是当时举世公认的德高望重的领袖数学家之一。大家知道,20
02年国际数学家大会将 在中国北京召开,这是国际数学家大会第一次在发展中国家召开
,那么在这新旧世纪交替之 际,会不会有像希尔伯特这样具有崇高威望的人在会上提出

,那么在这新旧世纪交替之 际,会不会有像希尔伯特这样具有崇高威望的人在会上提出
他认为的21世纪的数学问题或是 以其他的形式展望21世纪的数学?这些年来,已有不少
数学家提出自己认为的21世纪的数学 问题,但往往是“仁者见仁,智者见智”。

  二、百年前讲演的启示

  对希尔伯特的23个问题,不在这里介绍了,因为它超越了中学数学的范围。但百年
前, 希尔伯特演讲中对数学的一些见解却是非常深刻的,百年过去了,重读他的演讲,
依然得到 很多启示。在这里我只想讲一讲对他演讲中一段话的粗浅认识。

  从17世纪60年代微积分发明以来,数学得到了极大的发展,分支也愈来愈多。开始
时一 些大数学家对各个分支都懂,并且做出了很大的贡献。但后来数学的分支愈分愈细
,全面懂 得各个分支的数学家愈来愈少,到19世纪末,希尔伯特作讲演时,已经是这种
情况。于是在 讲演中,他说了这样一段话:“然而,我们不禁要问,随着数学知识的不
断扩展,单个的研 究者想要了解这些知识的所有部门岂不是变得不可能了吗?为了回答
这个问题,我想指出: 数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发
现密切联系着,这些工具和 方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西
抛到一边,数学科学发展的这种 特点是根深蒂固的。因此,对于个别的数学工作者来说
,只要掌握了这些有力的工具和简单 的方法,他就有可能在数学的各个分支中比其他科
学更容易地找到前进的道路。”100年过 去了,数学发展得更为广阔与深入,分支愈来
愈多,现在数学已有60个二级学科、400多个 三级学科,所以希尔伯特的这段话现在显
得更为重要。不仅如此,希尔伯特的这段话实际上 讲的是数学发展的历史过程,十分深
刻地揭示了数学发展是一个新陈代谢、吐故纳新的过程 ,是一些新的有力的工具和更简

刻地揭示了数学发展是一个新陈代谢、吐故纳新的过程 ,是一些新的有力的工具和更简
单的方法的发现,与一些陈旧的、复杂的东西被抛弃的过程 ,是“高级”的数学替代“
低级”的数学的过程,而“数学科学发展的这种特点是根深蒂固 的”。事实上,在数学
的历史中,一些新的有力的工具、更简单的方法的发现,往往标志着 一个或多个数学分
支的产生,标志着一些老的分支的衰落甚至结束。

  回顾一下我们从小开始学习数学的过程,就是在重复这个数学发展的过程。一些数
学虽 然后来被更有力的工具和更简单的方法所产生的新的数学所替代了,即“低级”的
被“高级 ”的所替代了,但在人们一生学习数学的过程中,却不能只学习“高级”的,
而完全不学习 “低级”的,完全省略掉学习“低级”的过程。这是因为人们随着年龄的
不断增长,学习与 他的年龄与智力相当的数学才是最佳选择。学习数学是一个循序渐进
的过程,没有“低级” 的数学打好基础,很难理解与学习好“高级”的数学。

  以下我们从希尔伯特讲演中这一段精辟的论述的角度来认识我们的中小学的数学课
程。 我只是从数学发展的历史的角度来讨论问题,为大家从数学教育的角度来讨论问题
作参考。 但我必须强调的是:从数学发展的历史的角度来考虑问题与从数学教育的角度
来考虑问题虽 有联系,但两者是不一样的。

  三、算术与代数

  人类有数的概念,与人类开始用火一样古老,大约在30万年前就有了,但是有文字
记载 的数到公元前3400年左右才出现,至于数的四则运算则更晚。在我国,《九章算术
》是古代 数学最重要的著作,是从先秦到西汉中叶的众多学者不断修改、补充而成的一

》是古代 数学最重要的著作,是从先秦到西汉中叶的众多学者不断修改、补充而成的一
部数学著作。 在这本书中有分数的四则运算法则、比例算法、盈不足术、解三元线性代
数方程组、正负数 、开方以及一些计算几何图形的面积与体积的方法等。在西方,也或
迟或早地出现了这些内 容,而这些内容包括我们从小学一直到中学所学习“算术”课程
的全部内容。也就是说人类 经过了几千年才逐步弄明白建立起来的“算术”的内容,现
在每个人在童年时代花几年就全 部学会了。对于“算术”来讲,“真正的进展”是由于
“更有力的工具和更简单的方法的发 现”,这个工具与方法是“数字符号化”,从而产
生了另一门数学“代数”,即现在中学中 的“代数”课程的内容。在我国,约13世纪五
六十年代的著作中,有“天元术”和“四元术 ”,也就是相当于现在用x,y,z,w来表述
四个未知数。有了这些“元”,也就可以解一些代 数方程与联立线性代数方程组了。西
方彻底完成数字符号化是在16世纪。现在中学学习的“ 代数”的内容包括:一元二次方
程的解,多元(一般为二元、三元,至多四元)联立方程组 的解,等等。当然在“数字
符号化”之前,一元二次方程的解、多元联立方程组的解已经出 现,例如我国古代已经
有一些解一般数字系数的代数方程的“算法程序”,但这些都是用文 字来表达的,直到
“数字符号化”之后,才出现了现在中学代数内容的表达形式。

  由“数字符号化”而产生的中学“代数”的内容,的的确确是“数学中真正的进展
”。 “代数”的确是“更有力的工具和更简单的方法”,“算术”顾名思义,可以理解
为“计算 的方法”,而“代数”可以理解为“以符号替代数字”,即“数字符号化”。
人类从“算术 ”走向“代数”经历了1000多年。但在中学的课程中,却只花短短的几年
,就可以全部学会 这些内容。

  回忆我在童年时代,在小学学习“算术”课程时,感到很难。例如求解“鸡兔同笼

  回忆我在童年时代,在小学学习“算术”课程时,感到很难。例如求解“鸡兔同笼
”题 ,当时老师讲的求解的方法,现在已完全记不得了,留下的印象是感到很难,而且
纳闷的是 :鸡与兔为何要关在一个笼子里?既然数得清有多少个头及多少只脚,为何数
不清有多少只 鸡与多少只兔?等到初中时学习了“代数”课程,才恍然大悟,这不过是
二元一次联立代数 方程组,解方程组十分简单方便,这不仅可以用来解“鸡兔同笼”,
即使“鸭狗同室”的问 题一样可以解。因此,“代数”显然比“算术”来得“高级”,
这的确是“更有力的工具和 更简单的方法”,而这些工具和方法同时会有助于理解已有
的理论,并把“陈旧的、复杂的 东西抛到一边”,也就是从“代数”的角度来理解“算
术”,可以理解得更深刻,且可以把 “算术”中一些复杂的、处理个别问题的方法抛到
一边去。

  在这里,我要重复说一遍,尽管中学的“代数”比小学的“算术”来得“高级”,
是“ 更有力的工具与更简单的方法”,但并不意味着小学的“算术”就可以不必学了,
因为:( 1)“算术”中的一些内容不能完全被“代数”所替代,如四则运算等;(2)
即使能被替代 的内容,适当地学习一些,有利于对“代数”内容的认识与理解;(3)
从教育学的角度考 虑,这里有循序渐进的问题,有学生不同年龄段的接受能力的问题,
等等。

  作为中学“代数”中的一个重要内容是解多元一次联立方程组。在中学“代数”的
教材 中,一般着重讲二元或三元一次联立方程组,所用的方法往往是消元法。但是,如
果变元为 四个或更多时,就得另想办法来建立起多元一次联立方程组的理论。经过很多
年的努力,矩 阵的想法产生了,这不但给出了多元一次联立代数方程组的一般理论,而
且由此建立起一门 新的学科——“线性代数”。这是又一次“数学中真正的进展”,由

且由此建立起一门 新的学科——“线性代数”。这是又一次“数学中真正的进展”,由
于“更有力的工具和更 简单的方法”即“矩阵”的发现,不仅对多元一次联立代数方程
组的理解更为清楚,更为深 刻,而且由于有了统一处理的方法,就可以把个别地处理方
程组的方法“抛到一边”。

  中学“代数”中的另一个重要内容是解一元二次方程,在古代,例如《九章算术》
中已 有解一般一元二次方程的方法,后来有很多的发展。直到19世纪,为了解决什么样
的特殊的 代数方程能用根式来求解这个问题,伽罗瓦(1811—1832)建立起“群”的概
念。这就意味 着现代代数理论的产生,这是又一次“数学中真正的进展”。有了“群”
以及后来发展起来 的现代代数理论,使人们可以更清楚、更深刻地理解以往高次代数方
程求根式解的问题。

四、几何与三角

  人类在很早的时候,就有各种计算面积与体积的公式或经验,也得到了不少几何定
理, 例如著名的毕达哥拉斯定理等。但在古代,几何的代表作则是欧几里得的《原本》
。现在中 学里学习的“平面几何”与“立体几何”的基本内容,是2300年前《原本》已
有的内容。从 《原本》问世以来,几何领域一直是它的一统天下,这种现象持续了1000
多年。“真正的进 展”是由笛卡儿与费马建立起的“解析几何”,其基本思想是在平面
上引进“坐标”,使得 平面上的点与实数对(x,y)之间建立起一一对应的关系,于是
几何问题就可以用代数形式 表达,而几何问题的求解就归化为代数问题的求解了。笛卡
儿甚至还提出过一个大胆的计划 ,即:


  任何问题→数学问题→代数问题→方程求解。

  “解析几何”的产生可以理解为变量数学的开始,它为微积分的产生创造了条件。
由于 引进了坐标,几何问题归结为代数问题,于是可以用一些代数的工具与方法来处理
,从而使 几何问题得解,这种思想与方法,使整个数学面目为之一新。

  既然“解析几何”是“数学中一步真正的进展”,“解析几何”比起“平面几何”
与“ 立体几何”都来得高级,那么“平面几何”与“立体几何”是不是就不要学习了,
直接学习 “解析几何”就可以了呢?从教育学的观点,这显然是不对的。我们所说的“
把陈旧的、复 杂的东西抛到一边”,是指当“解析几何”产生之后,那种用原来的方法
来创造与发明几何 定理的时代已经过去了,虽然这种做法延续了1000多年,但这并不意
味着可以将“平面几何 ”与“立体几何”“抛到一边”。在中学必须学习“平面几何”
与“立体几何”至少有以下 几点理由:(1)可以认识人们生活的三维欧氏空间中一些
最基本的几何关系与性质;(2) 不学习“平面几何”与“立体几何”,就无法学习“
解析几何”与“微积分”;(3)“平 面几何”与“立体几何”是训练学生严格逻辑思
维的最好的方法之一,这种训练比上一门“ 形式逻辑”课更为有效,它对学生终生有用
。当然中学“平面几何”与“立体几何”应讲授 多少内容是一个值得探讨的问题,完全
取消是绝对错误的,但做过多的几何难题似乎也是不 必要的。

  古典几何的另一个“真正的进展”,则是“非欧几何”的产生,这是数学史上的划
时代 贡献。


  如前所述,欧几里得的《原本》从诞生直到18世纪末,在几何领域,它是一统天下
,几 乎成为“科学圣经”。但在同时,人们多认为五条公设中的前四条简洁、明了,无
可非议, 而对第五公设,即“若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角,
那么把两直线 无限延长,它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交”,则感到它不像
一条公设,而更像 一条定理,即可以从其他公设、公理及定理中推导出来。

  2000多年来,不知有多少数学家致力于用其他的公设、公理及定理来证明第五公设
,甚 至有人为之付出了整个一生,但还是以失败告终。直到19世纪,由高斯、波尔约及
罗巴切夫 斯基创立了“非欧几何学”,才结束了这件公案。“非欧几何学”一反过去人
们试图从其他 公设、公理及定理来证明第五公设的做法,认为第五公设不可能从其他的
公设、公理及定理 中推导出来,而发展起第五公设不成立的新的几何学。高斯称之为“
非欧几里得几何学”, 简称“非欧几何学”。1854年黎曼在“非欧几何学”的思想基础
上建立了更为广泛的几何学 ,即“黎曼几何学”,开创了几何学甚至整个数学的新纪元
,而其发展更是一日千里。众所 周知,爱因斯坦的相对论正是以“黎曼几何”作为其数
学工具的。

  经历了2000多年的思索与努力,“非欧几何”的产生的确是“数学中一步真正的进
展” ,把已有的理论——欧几里得几何学,从更高、更深的角度去理解,而把那些陈旧
的思想— —试图用其他公设、公理及定理来证明第五公设的一切做法“抛到一边”。

  在中学数学课程中,还有一门叫“三角”。这门课程,主要讨论六个三角函数的相
互关 系及计算。人类对三角学的研究可以追溯到公元1~2世纪。当时的天文学研究,已

互关 系及计算。人类对三角学的研究可以追溯到公元1~2世纪。当时的天文学研究,已
经为三角 学奠定了基础,例如已经有了类似于正弦及正弦的表等。经过了几百年的努力
,到9~10世 纪,三角函数的研究已系统化,到了13世纪,球面三角也基本完成。因此
,现在中学学习的 “三角学”,其内容基本上在千年前就形成了。

  人们从更高、更深的角度来认识“三角学”,是由于复数的引入。人们对复数的思
考由 来已久,例如对方程x2+1=0的根的思考,但人们认真地将虚数=i引入数学则是16
世纪的事 了。之后欧拉建立了著名的欧拉公式:eiθ=cosθ+isinθ,使得三角学中的
问题都可以化 归为复数来讨论,于是三角学中一大批问题得以轻松地解决。有了复数与
欧拉公式,使人们 对三角学的已有理论的理解更为深刻,并可以把一些原始的、复杂的
处理三角学的方法与工 具“抛到一边”。

  我还得重复一遍,尽管复数与欧拉公式比三角学来得“高级”,但并不意味着中学
课程 可以不学习三角学。事实上,三角学是一门实用的数学分支,在很多其他学科中都
有用。

  五、微积分

  “微积分”实在是太重要了,不论你将来从事什么工作,理、工、医、农、文、商
等等 ,都得学“微积分”。可以这样说,中学课程中学习的各门数学,从某种意义上讲
正是为学 习微积分作准备的,一切大学的数学课程也都是以微积分为基础的。

  微积分是从四个方面的问题来的:(1)求曲线的长度、区域的面积、物体的体积等

  微积分是从四个方面的问题来的:(1)求曲线的长度、区域的面积、物体的体积等
; (2)求曲线的切线;(3)求运动物体的速度;(4)求一些问题的极大、极小值。

  当然,这些问题在一些简单的情形下,可以不用微积分,但当情形略为复杂一些时
,则 非用微积分不可。而反过来,微积分的诞生,不仅能解决上述这些问题,而且其用
处大大地 超出了这些问题。

  微积分的一些原始的思想,可以追溯到很远。例如,公元3世纪诞生的刘徽的“割圆
术 ”就孕育着一些朴素的微积分的想法。但是,微积分的诞生是在牛顿及莱布尼茨建立
了“微 积分的基本定理”,即指出微分与积分互为逆运算之后。计算积分不再要像以前
那样想一些 特殊的办法进行逐个处理,而可以统一处理了,从而使微积分不再成为几何
学的一部分,而 成为一门独立的学科。

  微积分的建立不仅使得数学的面貌彻底改变,而且将微积分应用到其他学科,使整
个自 然科学也彻底地改变了面貌。

  牛顿与莱布尼茨的微积分基本定理的建立,促使了微积分的产生,的确是“数学中
一步 真正的进展”,的确是“更有力的工具和更简单的方法的发现”。这不仅有助于我
们对已有 理论的理解,如使我们对前面提到的四个问题原有的理解,更为清楚与深刻,
而且的确可以 把以往“陈旧的、复杂的东西抛到一边”,例如,对个别曲线用一些特殊
的方法来计算其面 积与切线的方法都可以抛弃了。

  六、几点启示

  六、几点启示

  (1)一门学科的产生往往有多方面的因素,我在这里只说了一个因素,而这个因素
在 我看来是主要因素之一。(2)一门学科对其他学科的影响也是多方面的,例如,中
学的“ 代数”课程,从方程式的角度导致了“线性代数”及“抽象代数”的产生,但从
排列组合的 角度导致了组合数学的产生;又例如,“非欧几何”的产生,引发了“几何
基础”的深入讨 论等。

  从上面的论述中,我们已经发现,导致“数学中一步真正的进展”的“更有力的工
具和 更简单的方法”往往是由于看来是十分简单明了的想法。如从算术走向代数,关键
的一步是 “数字符号化”,即将数字用a,b,c,…x,y,z来表示。但正是这简单的一步,
引发了“数学 中一步真正的进展”,而人们认识到“数字符号化”,却花了上千年的时
间。同样,由“平 面几何”“立体几何”走向“解析几何”,关键的一步是“引进坐标
”,即将平面的点与数 一一对应。现在看来这一步也是十分自然的,人们是乐于接受的
,但正是这样看似简单的一 步,引发了“数学中一步真正的进展”。对于其他的情形,
也是一样,不在此一一重复了。

  仔细想想,“数字符号化”比算术中的一道难题可能更易于理解,“数字符号化”
之后 ,解算术难题则轻而易举。同样“引入坐标”,比“平面几何”中的一道难题的解
可能更易 于理解,“引入坐标”之后,解几何难题则比较容易了。当然,“代数”比“
算术”来得“ 高级”,“解析几何”比“平面几何”来得“高级”,可“高级”的反而
容易,“低级”的 反而难,这就是“高”“低”与“难”“易”之间的辩证关系。而更
令人深思的是:重要的 是要有创新的思想,“数字符号化”“引入坐标”这些看似简单

令人深思的是:重要的 是要有创新的思想,“数字符号化”“引入坐标”这些看似简单
的想法,却是创新思想。有 了这种创新思想,才会有“数学中一步真正的进展”,否则
即使是解决“算术”难题的能人 ,是做“平面几何”难题的高手,如果无这种创新思想
,那么难题做得再多,也不可能引发 “数学中一步真正的进展”。当然,这种创新思想
来之不易,往往要经过几百年乃至千年的 积累才能形成。经过了长期的积累,走向成熟
,就会有数学大师总结与提升前人的成果,进 而提出这种创新的思想,这就是数学的历
史。

  当然,我这样说,并不是否定做一些算术或几何的难题。从培养学生学习数学的能
力来 看,让学生花太多的时间来做太多的难题当然不必要,但适当地让学生做一些数学
难题还是 必要的,对培养学生的创新思想是有好处的,因为创新思想不是一天能培养出
来的,要日积 月累,有一个从量变到质变的过程。看看历史上的那些大数学家,哪一位
没有做过难题?从 教学的角度来看,问题是要适量。至于中小学教师,为了提高教学质
量,对一些难题进行研 究、分析与探讨,那是理所当然的事。从因材施教、提高同学们
学习数学的兴趣与能力的角 度出发,来举办一些数学活动,如“数学竞赛”等有意义的
活动更是必要的了。从数学发展 的历史角度与从数学教育的角度来考虑问题终究是不一
样的。

  如果以上算作数学历史的一点启示,那么以下所说的也可以算作数学历史的另一点
启示 。

  从上述的叙述中还可以看到,数学的历史也像战争史。“一将功成万骨枯”!想想
从欧 几里得的《原本》诞生之后,几千年来,不知有多少数学家前仆后继地试图用其他

从欧 几里得的《原本》诞生之后,几千年来,不知有多少数学家前仆后继地试图用其他
公设、公 理及定理来证明第五公设。这些人都失败了,他们都默默无闻,数学史上没有
记载他们的名 字。但正是由于千千万万个无名的数学家的失败,才导致了高斯、波尔约
、罗巴切夫斯基从 另外的角度来处理这个问题。他们成功了,他们成了英雄,但他们的
成功是在几千年来千千 万万个数学家失败的基础上获得的,所以可以说是“一将功成万
骨枯”!

  同样自从二次、三次及四次一元代数方程式得到根式解后,几百年来,也不知有多
少数 学家前仆后继地试图找到五次及更高次一元代数方程式的根式解,但他们都失败了
。这些人 在数学史上默默无闻,谁也不会记起他们的名字,但他们的牺牲,导致了拉格
朗日、阿贝尔 与伽罗瓦从新的角度来考察这个问题。他们成功了,名垂数学史,但他们
的成功也是在几百 年来无数默默无闻的数学家失败的基础上获得的。这也可说是“一将
功成万骨枯”!

  这样的例子还可以举出很多。

  这些数学的历史,给我们以深刻的启示:我们应该如何来选择数学问题,如何来思
考与 处理数学问题,才能尽量避免不必要的牺牲,获得成功。

  百年前,希尔伯特在他那著名的讲演中,用以下这段话作为结束语:“数学的有机
统一 ,是这门科学固有的特点,因为它是一切精确自然科学知识的基础,为了圆满实现
这个崇高 的目标,让新世纪给这门科学带来天才的大师和无数热诚的信徒吧!”我深信
,21世纪一定 会“给这门科学带来天才的大师”,而且其中肯定有许多来自我们中国!
茶室设在一家玉石店的楼上,红木桌椅靠着朱红漆就的窗子,窗外是早春淡薄的的暖意。我也许会讲到她的快乐,她在望着他时心中升起的至深的亲近。但我不会描述他们眼睛里共同的悲伤——我不会描述那一刻的震动,当他的手臂终于穿过他们之间不可逾越的距离,他的手握住她的手指。

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