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标题: 求解两道题GR9367里面的 [打印本页]
作者: liqiushi1991    时间: 2014-9-16 12:09:09     标题: 求解两道题GR9367里面的

44. if x is a real number and P is a polynomial function, then lim h-> (P(x+3h)+P(x-3h)-2P(x))/h^2=?
答案选D， 9p‘’(x)。 我想选E，无穷。
我的理由:因为一开始分子分母全为0，所以用罗比达法则。求完一次导，分子变为3P‘(x+3h)-3P’(x-3h)-2P‘(x)， 当h趋于0时，分子趋于-2P’（x)。 而分母为2h，当h趋于无穷，其趋于零。这样这个极限难道不是无穷吗？

62. let R be the set of real numbers with the topology generated by the basis {[a,b):a<b,where a,b 属于R}. if x is the subset [0,1]of R, which of the following must be true?
1. X is compact 2.H is Hausdorff 3. X is connected
答案选择只有2 求大神解释。拓扑实在缺根筋
作者: liqiushi1991    时间: 2014-9-16 20:39:14

44 已经解决了
现在28还是不懂
求解答let A and B be subspaces of a vector space V. which of the following must be subspaces of V?
1. A+B={a+b:a属于A，b属于b} 2.A∪B 3. A∩B 4.{x属于V：x∉A}
答案选的是1和3
作者: 陌轻尘    时间: 2014-10-12 09:26:56

首先，你要知道compact, connect and hausdorff的定义，自己维基百科一下，很快就能懂了，
简而言之，compact就是区间两边都是[a, b]
connect就是联通的，connect还分simple（没洞）和 not simple（有洞）
hausdorff 就是 http://en.wikipedia.org/wiki/Hausdorff_space
然后就是找反例
这到题目其实crack the math sub这本书上有详解的
很明显，A的反例是（0.5，1）， B的反例是(0，0.5) U (0.6, 0.8)
作者: hongxueyi2012    时间: 2014-10-18 22:35:00

62题只要主要到{1}也是开集（子空间拓扑），1和3就好解决了
作者: kakarotyjn    时间: 2014-10-20 12:15:32

62题实在是不明白，[0,1]是闭区间，在lower limit topology里怎么会是开集呢？lower limit top is finer than standard top, [0,1]在standard top里面都是紧的，为什么在lower limit top里面不紧？我怎么觉得1，2，3都对呢。。
作者: 小硕鼠    时间: 2014-10-21 14:54:51

kakarotyjn 发表于 2014-10-20 12:15
62题实在是不明白，[0,1]是闭区间，在lower limit topology里怎么会是开集呢？lower limit top is finer than standard top, [0,1]在standard top里面都是紧的，为什么在lower limit top里面不紧？我怎么觉得1，2，3都对呢。。
拓扑不要想当然，按定义去推
他告诉你的就是形如〔a，b）的叫开集，所以0，1闭区间是开集，是开集〔0，1）和1的并，1是开集是因为1是开集〔1，2）和空间〔0，1〕的交，是子空间拓扑
更正，一下有错误，请参考后面的讨论
2和3是矛盾的
hausdorff就是说有两个点可以用不交开集分开
那么如果能分开当然就不是联通的
作者: 陌轻尘    时间: 2014-10-21 18:29:59

楼上对hausdorff的理解有问题吧，hausdorff的意思是说说存在两个点可以被开集断开，也就是说在被断开前某一部分一定是connect的，但是一部分connect不等于所有都connect，比如(0，0.5) U (0.6, 0.8）中选0.1和0.4两个点，可以被（0.2，0.3）这个区间断开，但是这个集合不是connected，这种情况下，connect和hausdorff矛盾，但是另外一种情况(0，0.5)就是hausdorff并且connnected的
作者: 0910180    时间: 2014-10-21 18:38:02

本帖最后由 0910180 于 2014-10-21 18:40 编辑

[0 . 1- 1/n ) ，n=1,2,3…… 和[ 1,3） 构成X的一个开覆盖 ，但没有 有限子覆盖 ，所以1是错的
[0,1） 和[ 1,2）是覆盖X 的俩个不相交的开集，所以3错
作者: 陌轻尘    时间: 2014-10-21 18:48:51

为什么一定要覆盖[0,1]
作者: 0910180    时间: 2014-10-21 18:51:48

陌轻尘 发表于 2014-10-21 18:48
为什么一定要覆盖[0,1]

题目里不是要判断X是否 是紧，连通？ X=[0,1]呀
作者: kakarotyjn    时间: 2014-10-21 19:19:01

小硕鼠 发表于 2014-10-21 14:54
拓扑不要想当然，按定义去推
他告诉你的就是形如〔a，b）的叫开集，所以0，1闭区间是开集，是开集〔0，1） ...


2,3可不是直接矛盾的呀，有好多拓扑空间既是豪斯道夫又是联通的。 而且对于1来说，我们还是应该在原空间考虑，而不是去想子空间拓扑，1的反例是[0,1-1/n) [1,2)这些开集构成的开覆盖，它们没有有限子覆盖
作者: 陌轻尘    时间: 2014-10-21 19:27:03

本帖最后由 陌轻尘 于 2014-10-21 19:28 编辑
kakarotyjn 发表于 2014-10-21 19:19
2,3可不是直接矛盾的呀，有好多拓扑空间既是豪斯道夫又是联通的。 而且对于1来说，我们还是应该在原空间 ...


你这个开覆盖没有把[0,1]全部覆盖到啊,(1-1/n，1]呢？
作者: kakarotyjn    时间: 2014-10-21 19:32:01

陌轻尘 发表于 2014-10-21 19:27
你这个开覆盖没有把[0,1]全部覆盖到啊,(1-1/n，1]呢？

对所有的[0,1-1/n) (n from 2 to infinity)取并，可以覆盖[0,1)
作者: 陌轻尘    时间: 2014-10-21 20:04:23

kakarotyjn 发表于 2014-10-21 19:32
对所有的[0,1-1/n) (n from 2 to infinity)取并，可以覆盖[0,1)

终于懂了，大神厉害，赞一个
作者: 0910180    时间: 2014-10-21 20:29:07

kakarotyjn 发表于 2014-10-21 20:25
但是[0,1)并[1,2)并不等于[0,1]呀?

[0,1]上的拓扑是原来的拓扑限制在[0,1]上，所以{1}是[0,1]的一个开集
作者: kakarotyjn    时间: 2014-10-21 20:31:31

0910180 发表于 2014-10-21 20:29
[0,1]上的拓扑是原来的拓扑限制在[0,1]上，所以{1}是[0,1]的一个开集

对对，这时应该考虑子空间拓扑
作者: 0910180    时间: 2014-10-21 20:34:01

kakarotyjn 发表于 2014-10-21 20:31
对对，这时应该考虑子空间拓扑

恩，所以并起来不相等也无所谓，只要覆盖了就行了。
作者: 小硕鼠    时间: 2014-10-21 20:52:37

陌轻尘 发表于 2014-10-21 18:29
楼上对hausdorff的理解有问题吧，hausdorff的意思是说说存在两个点可以被开集断开，也就是说在被断开前某一部分一定是connect的，但是一部分connect不等于所有都connect，比如(0，0.5) U (0.6, 0.8）中选0.1和0.4两个点，可以被（0.2，0.3）这个区间断开，但是这个集合不是connected，这种情况下，connect和hausdorff矛盾，但是另外一种情况(0，0.5)就是hausdorff并且connnected的
。。啊对了T2是联通的最简单例子是R。。。
作者: 小硕鼠    时间: 2014-10-21 20:54:08

0910180 发表于 2014-10-21 20:34


恩，所以并起来不相等也无所谓，只要覆盖了就行了。
可分跟联通没关系。。。搞糊涂了。。。感谢指导
作者: Key125    时间: 2014-10-23 19:39:31

0910180 发表于 2014-10-21 18:38
本帖最后由 0910180 于 2014-10-21 18:40 编辑

[0 . 1- 1/n ) ，n=1,2,3…… 和[ 1,3） 构成X的一个开覆盖 ，但没有 有限子覆盖 ，所以1是错的
[0,1） 和[ 1,2）是覆盖X 的俩个不相交的开集，所以3错
好有道理。。受教了
作者: 陌轻尘    时间: 2014-10-23 21:58:58

还是hausdorff的问题，这道题为什么选B?
[attach]359864[/attach]
作者: kakarotyjn    时间: 2014-10-23 22:22:19

对于2，假如O_i cover subset S, 考虑O_1, O_1如果不覆盖S,那它的complement也只有有限个点在S里面，选取覆盖这有限个点的覆盖，就找到了一个有限覆盖。
作者: kakarotyjn    时间: 2014-10-23 22:23:08

陌轻尘 发表于 2014-10-23 21:58
还是hausdorff的问题，这道题为什么选B?


对于2，假如O_i cover subset S, 考虑O_1, O_1如果不覆盖S,那它的complement也只有有限个点在S里面，选取覆盖这有限个点的覆盖，就找到了一个有限覆盖。
作者: voibest    时间: 2014-10-24 09:22:33

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