问一个数学问题，关于各种空间的

ElShaarawyUID: 3434484

本科是EE，数学背景不高，最近在研究模式识别，想请数学专业的同学clarify一些概念：向量空间，内积空间，欧几里得空间，巴拿赫空间，希尔伯特空间。在paper中见到过这些概念，自己也维基了一下，然后大概了解了一下来龙去脉。不知道说得对不对，请大家拍砖！

向量空间的概念是最原始的概念，其中定义了一个数域和一个集合，使得向量对于数乘和加法满足封闭性？

内积空间在向量空间的基础上增加了度量向量的一些定义，定义了内积，角度，范数？？

欧几里得空间中也有向量长度，夹角的概念，甚至还有两个向量的欧几里得距离的定义？？

那内积空间和欧几里得空间的有什么不同呢？？

巴拿赫空间就是定义了范数，且满足完备性的的向量空间。所以其中没有角度的概念？？

希尔伯特空间就是满足完备性的内积空间？？

欢迎大家赐教，感激不尽

airoswellUID: 2672688

欧几里得空间应该是一类内积空间，其内积是严格正定的。更常见的用法应该是欧几里得就特指最普通的 (x_1, x_2, ......) 空间，内积也是最简单的那种。

airoswellUID: 2672688

欧式空间相当于特指最简单的内积空间，即（x_1, ..., x_n）空间，内积也是最简单的内积。

cooljerenUID: 3411416

去教材看定义吧。。。