今年的IMO试题

genie05UID: 30358

今年的IMO试题
2006 年7 月12 日

一、 设I 为ΔABC的内心， P 是ΔABC内部的一点， 满足∠PBA+ ∠PCA = ∠PBC + ∠
PCB.

证明： AP ≥ AI ， 并说明等号成立的充分必要条件是P = I .

二、 设P 为正2006 边形. 如果P 的一条对角线的两端将P 的边界分成两部分，每部分
都包含P 的奇数条边，那么该对角线称为“好边”. 规定P 的每条边均为“好边”.

已知2003 条在P 内部不相交的对角线将P 分割成若干三角形.

试问在这种分割之下，最多有多少个有两条“好边”的等腰三角形.

三、 求最小的实数M ， 使得对所有的实数a, b和c ， 有

| ab（a^2 - b2 ） + bc（b^2 - c^2 ） + ca（c^2 - a^2 ） |≤ M（a^2 + b^2 +
c^2 ）^2 .

时间：4 小时30 分钟

每题7 分

2006 年7 月13 日

四、求所有的整数对， （x, y） 使得1+ 2^x + 2^（2x+1） = y^2 .

五、设p（x）为n次（n>1）整系数多项式， k 是一个正整数. 考虑多项式Q（x）=P（P
（...P（P（x））...）） ， 其中 P 出现k 次. 证明：最多存在n个整数 t ，使得 Q
（t）=t.

六、对于凸多边形P 的任意边b ，以b 为边，在P 内部作一个面积最大的三角形. 证
明: 对P的每条边， 按上述方法所得三角形的面积之和至少是P 的面积的2 倍.