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我这样写(CS转数学,明年申)
读过一些著名的数学类的教材 比如说GTM(Graduate Texts in Mathematics),LMS,LNM and LMSST 比如说我读过GTM73,Hungerford Algebra, GTM 28 Zariski Commutative algebra 1 GTM 52 Hartshone Algebraic Geo GTM 119 Rotman Algebraic Topology GTM 9 Humphreys Lie algebra and repreentation GTM 176 Riemman Surface. I love them very much. Take Algebra written by Hungerford for example,I have taught the graduate students in our University in Algebra Seminar. I found this book quite suitable for me to know the classical result such as Group Rings and Module in Process of Algebra. Especially The Chapter introducing the Module. There are not so much homological facts but it indroduce the basic concept of Projective module and injective module.并且介绍了over PID 模的性质,这实际上是很重要的,因为我们知道一个交换群可以看成是Z模,而Z是一个主理想环,交换群的性质很好,所以我们可以把Z变成更一般的但是仍然有比较好性质的环比如主理想环,并且我们还可以研究这种模的直和分解性质,比如说P1 direct sum P2=Q1 direct sum Q2 是不是有P1=P2 Q1=Q2或者只差一个排列呢? 事实上在群的合成列,模的合成列中这都是很重要的问题,实际上就是看这个模范畴是不是有Krull-Schmidt性质,也就是说唯一分解定理,而研究这个问题的一个手段是我们可以研究PID作为一个环或者是一个代数的幂等元的分裂性质.我觉得代数表示论是代数中一个非常年轻和有活力的分支,尤其是quiver的构造,有一些内容我发现非常有趣,比如设{ei}是一个环的本原正交幂等元,如果是完备集,则一个环可以进行双边Pierce分解,由每一个分解项的形状,很容易发现有一条arrow from ei toej,为了简明,我们假设环是一个K代数,则每一个分解项的维数实际上就是两个顶点之间的路的数量.因此我认为quiver就是经过这样的思考来得到的.quiver这个有用的工具能够把一些结构展示在"我们眼前",对于一个基本代数,我们可以做它的不可分解投射分解,然后利用quiver我们可以研究它的单表示,投射表示和内射表示,并且我们可以定义所谓dimensional vector把它和Euler特征数联系起来,进而和Quadratic forms联系起来,因此一个quiver就对应于一个2次型,这样我们就可以通过2次型的理论来进行研究.而quiver表示论在一定程度上也用到了Lie代数表示论的一些思想,比如说Dynkin图,一个很重要的定理是Gabriel给出的,一个有限维代数是有限表示型的iff它对应的quiver是Dykin的,iff对应的2次型是正定的,我觉得这个定理实在是太漂亮了,建立了三者之间的联系!
事实上在我学习代数时,我一直在思考一个问题,就是代数要解决的问题是什么,尤其在我最开始接触代数表示论时,后来发展的数学应该能解决以前不能解决的一些问题,quiver 以及path alg assocaited with it也应该是这样,我的理解是这样的,我们知道KQ是一个路代数同时是一个自由代数,而所有代数都能看成是路代数的同态象,所以研究其他的代数可以通过路代数模掉一个admissible理想来得到.因此通过路代数的方法就更加简单了.对于遗传代数,性质就非常好了,我们知道一个遗传代数对应的quiver的路代数和这个遗传代数同构,因此我们可以把quiver稍微做一些变化,我觉得能够得到和遗传代数的一些弱化,这样就和经典的代数建立的桥梁.
等等
我就不写了,还是有很多东西可写的,比如说最近最热的三角范畴和导出范畴的应用,我读过Happel的博士论文,就把AR QUIVER和ART 联系起来了,CM RINGEL 进一步引进了tublar代数的导出范畴,比如可以写写对那个TR4 也就是八角型公理的理解,为什么要那样定义,有什么背景?比如一本LNM173 就讲了一些反射函数子的东西,可以看看那个translation的degree最高可以取什么
还有可以考虑代数中投射模 内射模以及预投射模的关系,考虑一下几乎可裂序列和可裂序列和ARQUIVER的联系,说说自己的理解和观点.
还可以说说Galois覆盖在代数表示中的应用,不是有很多构造方法么,说说之间不同的地方.
最近THU的XIAO JIE 在Invention上发表一个三角范畴在KAC-MOODY 代数中的应用,事实上还可以用到RINGEL HALL代数中,你可以谈谈对这方面一些初步的理解
就这样了,我觉得可以读一两本论文集,最好是你要申请导师的论文集,这样就可以直接和他讨论论文了,我准备这么干
另外我本科有科研经历 也发过不低的论文,所有写科研经历 |
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发表于 2006-10-4 16:48:09
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