接下来是最重要的内容了,也就是如何去备考SUB考试。
首先要明确的问题是,GRE考试与TOEFL考试不同,GRE考试面向的是想要申请北美研究生院的本科生,我想ETS出题的思路也是以美国本科生应该掌握的能力为出题标准的。知己知彼,百战不殆,首先应该了解一下美国本科数学课程的设置,其实也就明确了SUB考试要考察什么。
在美国真的没有《数学分析》、《高等代数》这些课程的,咱们这些应该是沿用了前苏联的课程设置。本科生最早接触的应该就是超多学分的Calculus,这里面已经涵盖了部分Analytic Geometry的内容;之后是Linear Algebra以及Ordinary Differential Equations了;再之后可能会讲到一些Functions of a Complex Variable和Introduction to Probability。这里面应该涵盖了SUB考试的大部分内容了。细心的同学可能已经发现了,这些课程在一般的工科专业中都涉及到了,也就是从ETS命题的初衷来看,它并不是只想让本科数学专业的人来考。咱们都知道“一坨屎”是一个“非盈利”机构,怎么会只让那些学数学的人来考,况且美国本土学数学的人又那么少。一次math subject考试要交160刀,判卷子都是机读,多考一个人就是多赚一笔啊。但是人家毕竟是评价你本科的数学能力,所以还是要涉及一些数学专业的课程啊,Introduction to Analysis,这才是数学分析呢!不过会涉及部分Lebesgue Measure和 Lebesgue Integral的内容;Abstract Algebra,这个和咱们国内本科近世代数或抽象代数要求差不多,都是Group、Ring、Field呈知识量递减的趋势;Set Topology,这也是差不多的,一般国内开拓扑会讲一些Algebraic Topology的东西。剩下SUB还会考一些Discrete Mathematics、 Combinatorics以及Number Theory的内容。PDE、Differential Geometry这种都不会考的。
那么说说复习推荐的书目吧,大家自己上课的教材应该是要好好复习的,我这里就主要说说英文教材吧,以影印版为主,基本上都是可以买到的。
重中之重,Cracking the GRE Mathematics Subject Test,Princeton Review。这应该是考SUB的人必备的复习材料,基本上涵盖了考试所有的知识点,虽然题目的难度比真实考试要小一点,但是对于复习和巩固知识点是非常重要。书中对于概念和定理整理得比较详细,但是没有任何一个证明,对于复习应考是不错的,但是不适于自学。悲剧地是这本书在国内很难买到,运气好的话就能买到。可以到淘宝上买人家制作的复印版,不知道效果如何。要不就是在Amazon.com上买吧,不过貌似还有关税什么的,不太了解。如果去香港比较大的书店可能可以买得到。
微积分:
《托马斯微积分》,这本书应该算是经典的教材了吧,高等教育出版社有影印版,深蓝色外皮的那种。里面涉及了微积分和解析几何的内容,很全很丰富,不过习题没有答案。剩下高教出的同样封面的几本《微积分》影印版都应该不错。但是微积分哪本书都差不了太多,大家可以自由选择。
线性代数:
同样是推荐高教深蓝色外皮《线性代数》影印版,其它应该也有不少影印版,都是可以用的。但是注意,GTM就有一本Linear Algebra,那个跟本科学的完全不一样,大家要注意一下。考察的内容跟国内要求差不多。
常微分方程:
我个人认为SUB考试中ODE涉及的不多,咱们国内高等数学教材中应该涵盖相当部分内容。如果你去拿Arnold的Ordinary Differential Equations去复习真的能折磨死你。其实Cracking中讲ODE的内容已经差不多了,如果一定要看就去找工科用的ODE书吧。
复变函数:
同样的道理,找工科用的复变教材就可以了。网上有人说用Lars V. Ahlfors的Complex Analysis,我真的有点疯了,不是说这本书不好,写得很不错,我本人也很喜欢。但是,首先,机械工业出版社的影印版应该已经绝版了吧,基本上是买不到的。还有,就是因为人家Ahlfors菲尔兹奖获得者,教材中一定会有不少现代数学的东西,所以我到现在也不明白为什么Residue Theorem一定要用同调的形式呢?连国内本科数学讲复变函数的时候不会提到这个的。更何况这里有不少非数学专业的考生呢。复变考试基本上以计算为主,Cauchy-Riemann方程、Cauchy积分定理与公式、留数定理都是比较重要的。还会考到复数或者复函数的一些简单计算。
概率论:
SUB中考概率的内容很少,最难的就是到分布函数、密度函数的计算这种程度。国外的教材真的讲得太多了,看看也可以,去看给工科用的就行了。我之前看人民邮电出版出的影印版A first course in stochastic processes发现里面预备知识中就包含了SUB考试概率部分全部内容了,讲得很简单,可以看看。
近世代数:
这个国内本科用的教材都可以,如果一定要找国外的话就有点难度了,因为国内引进的近世代数教材基本上都是适合给研究生看,如果一定要看,我建议是看van der Waerden的Algebra或者Nathan Jacobson的GTM030 Lectures in Abstract Algebra I。这两本难度应该比较小,世界图书出版公司都有影印版。近世代数是重点,概念和性质要好好掌握,Cracking里面群讲得挺多的,环和域讲得不多,但是考试时还是会考到的,自己要多看看。
数论:
Cracking里面讲得已经很详细了,把里面的都搞明白就差不多了。如果还嫌不够,可以看看国外初等数论的教材,我当时看的是世图出版的Elements of Number Theory作者是John Stillwell。欧几里得算法和模运算比较重要。
分析:
比较推荐机械工业出版社影印的两本书:Walter Rudin写的Principles of Mathematical Analysis,以及Apostol的Mathematical Analysis。内容上面都比较全面,第二本更容易上手一点,同时其后面也讲到了一点复分析的内容。
点集拓扑:
强力推荐Armstrong的Basic Topology!世图同样有影印版。写得比较简单,可能看的时候有点不太适应,因为可能不太想数学书,呵呵。这本看到同伦、基本群之前就足够了。
离散数学:
这里面国内影印了不少书,应该都应该拿来参考。还有离散数学中涉及的英文单词可要记对哦。
算法分析:
反正考试时也是呈现的Pseudo-code,只要学过C、C++什么的就绝对没有什么问题。
应该考点就差不多了。