求助。。牛人看下，根式的唯一性证明

annimalUID: 2616512

a>0,n是自然数,证明:唯一存在b>0,b^n=a.
（因为要证明这个式子，因此证明过程不能开根号，就是不能说一个数的n次方根是另一个唯一的数）

基本思想是另b=sup{x>0,x^n<a}，然后证明b^n>a和b^n<a都不成立。
首先证上面那个集合是有界的：

可以找到一个数c，使c^n>a,则c^n>任意x^n
则c>任意x。  （由于不能开根式，所以只能用反证法，假设0<c<=x,则c^n<=x^n<a,与上面矛盾）

因此{x>0,x^n<a}这个集合是有上界的，因此由实数完备性，{x>0,x^n<a}有上确界。
下面就要证明b^n>a or b^n<a 都不成立，这个我找不到合适的ε。。。

比如假设b^n>a，如果可以找到一个合适的ε，再找出一个合适的x,因为x>b-ε,让x^n>a也就证明了
b^n>a是不成立的（因为x^n是小于a的）

同样b^n<a也一样。。。。主要是不能开根号，不知道要怎么找
求助啊。。

cainiao2011UID: 2759854

但我总可以用因式分解不（因为这个只用到数乘，没用根号）？

反证法：
假设存在另一个c>0 (c<>b)，使c^n=a，于是：
b^n - c^n= a-a ≡ 0 = (b - c)*∑[b^(n-i)*c^(i-1), 1, n]
（其中，“≡”是恒等号，∑的写法为：∑(表达式,下限,上限)）

由于b、c都大于0，所以，显然乘号后一项“∑[b^(n-i)*c^(i-1), 1, n]”>0。而，全式≡0 ，于是，只可能是b-c≡0，于是b≡c，而这和c<>b的假设矛盾。因此，不存在如此的另一个c，得证。

cainiao2011UID: 2759854

另，楼主你的证法，可以用Dedekind切割定理，能简化很多。

annimalUID: 2616512

但我总可以用因式分解不（因为这个只用到数乘，没用根号）？

反证法：
假设存在另一个c>0 (cb)，使c^n=a，于是：
b^n - c^n= a-a ≡ 0 = (b - c)*∑
（其中，“≡”是恒等号，∑的写法为：∑(表达式,下限,上限 ...
cainiao2011 发表于 2011-2-12 23:19

额。。其实如果证明了存在性以后，唯一性就比较好证明了。若设不相等的b1,b2,由b1^n=a,b2^n=a ，推出b1^n=b2^n
因次b1=b2,与上面矛盾。。。（b1^n=b2^n 与 b1=b2 是等价的，右边推左边是显然的，左边推右边用反证法，没有用到开根式。。

存在性的证明我觉得可以先证明 b^n=sup{x^n|x^n<a} 然后因为a=sup{x^n|x^n<a},所以b^n=a.
证明b^n=sup{x^n|x^n<a}  
由于确界定义 任取ε>0,存在x..>0满足x..^n<a且b-x..<ε
这样b^n-x..^n=(b-x..)[b^(n-1)+b^(n-2)*x..+.........+b*x^(n-2)+x^(n-1)]
                      <=(b-x..)[b^(n-1)+b^(n-1)+..........+b^(n-1)+b^(n-1)]
                        =(b-x..)*n*b^(n-1)<kε                  其中 k=n*b^(n-1)
不知道有没有问题？

annimalUID: 2616512

另，楼主你的证法，可以用Dedekind切割定理，能简化很多。
cainiao2011 发表于 2011-2-12 23:22

额。。。才疏学浅不懂啊。。。

mystconquerorUID: 2852398

随便找本数分书，基本上都有，如果我没记错的话，小Rudin上就有

wstpUID: 2669512

才疏学浅的我觉得用分析证这个很丑
从代数基本定理或者从复变都能得到非常显而易见的推论～
LZ大人，数学最重要的是elegent

annimalUID: 2616512

7# wstp
。。。不太赞同呀。。我觉得数学最重要的是严密性。。。ELEGENT是艺术的东西啦~

坚强的方便面UID: 2995453

Rudin "Principles of Mathematical Analysis", Page 10, Theorem 1.21

annimalUID: 2616512

Rudin "Principles of Mathematical Analysis", Page 10, Theorem 1.21
坚强的方便面 发表于 2011-2-15 02:09

THX

annimalUID: 2616512

随便找本数分书，基本上都有，如果我没记错的话，小Rudin上就有
mystconqueror 发表于 2011-2-13 22:07

thx