丘成桐： 如何做学问

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发信人: lipid (荔枝), 信区: Science
标　题: 丘成桐： 如何做学问
发信站: Unknown Space - 未名空间 (Fri Aug 13 11:41:32 2004) WWW-POST

【八阕】今天很高兴能够在各位面前讲讲我做学问的经验，可以供大家参考一下。我讲「
如何学好微分几何」的题目，主要是想跟大家讲讲有关于从前我做学问的态度，因为我是
做几何的，所以我就讲做微分几何。很明显的，大部份的同学不会选几何，不过没有关系
，其实就是讲讲我做学问的态度。 【八阕:PopYard.Org】

首先，讲讲我从前的一些经验。我从前在香港长大，在香港念中学、大学，然后到美国念
研究所，所以至少在前一半跟大家的经验应该差不了太远，不过是时代有点不同。我在多
年前念数学，你们现在念数学，看法上已经有许多不相同，事实上我也不太了解你们现在
的想法。不过基本上，我们都是中国文化出生的，所以我想仍有一部份共同的地方。基本
上我们是要讲怎么作科学研究，也就是纯科学的研究，我们要看的是我们的志向是怎样的
。假如我们想做一个好的科学家，当然我讲的是怎么做一个好的数学家。先说我自己的经
验，我从前在香港培正中学念中学的时候，就开始对数学有兴趣。当然还有一些其它的课
程，我对数学有兴趣，一方面是受到我家庭的影响，我父亲是做哲学的，所以对于念数学
一直都相当鼓励，到了中学以后，我父亲去世了。不过也因此对于自然科学有很浓厚的兴
趣。另一方面受老师的影响也很大。我想很重要的当我们开始要做一个学问，尤其是你真
的要做一个出色的科学家，跟你的兴趣和你一开始所立下的志向有很大的关系。就是说，
开始的时候你期望能够做到什么。假如说开始的时候你根本不想做一个好的科学家，那么
你就永远也不可能做一个好的科学家。从前有位大学老师跟我讲说：「假如你不买马票，
你永远也中不了。」倒不是说我鼓励你们去买马票，是说假如你不准备做好的科学家，就
永远也做不了一个好的科学家。不过是不是讲，你想做一个好的科学家，你就可以做个好
的科学家呢？当然不是，你还要有很多其它的因素在里面，我想第一点是要你将做人的目
标先决定。

我在国外二十多年了，也教了不少的学生，有些在世界上算是很出名，但有些不是太行。
从这方面来讲，比较好的学生和不好的学生我可以晓得不同的经验。我想好的学生大部份
一开始就决定他要做到什么程度的科学家，从很早就可以看得出来，因为有了志向以后，
才晓得怎么去用功、怎么去花时间在上面。这看起来倒是老生常谈，因为你从小学、中学
到大学，大概很多老师都跟你讲同样的意见，可能你听多了都觉得没有什么意思，但是事
实上这是成功的第一个因素。我的一位老师跟我讲，你要决定以后你想做什么，讲明了，
不是为名就是为利。当时我很惊讶，老师为什么讲这一句话。我们不能否定大部份的想法
不是为名就是为利，同时这个想法也推动了不少科学的研究。不过我们也晓得，单是为名
为利不可能将科学达到最高峰的研究，我们一定要对这个科学有浓厚的兴趣。我们应当晓
得，做科学，我们有一个很纯正的想法，就是对真理的追寻，在真理的背后有一个很漂亮
的境界在里面，我们到了一个境界以后，对我们追求学问的人来讲，是无法抗拒的，就算
是没有名没有利，我们也希望能够将这个真理搞清楚。举例来讲，如果你喜欢下棋的话，
有时你会晓得下到一半的时候，结局会是怎样，你非为名也非为利，当然可以讲说你是为
了好胜，但是有时候你总是想追求，想晓得怎么解决这个问题。在科学上来讲我们要追求
的是比这个高的境界。我为什么讲为名为利这个事实呢？举例来讲，我们这几年在哈佛大
学里教了几个在大学里念数学念得很好的学生，可是到了毕业的时候，我晓得他们明明对
数学有很大的兴趣，但是他们选取了完全不同的途径，他们有些人宁愿选取做生意或是到
银行里面做事。我并不反对你们去做生意、赚大钱，我失望的缘故是因为这些学生明明是
对做学问兴趣特别大，但是他们没有办法去抗拒赚钱的引诱而放弃了继续做学问的前途，
有些人甚至过了几年赚了钱，又想重新再做学问，但问题是无论你资质有多好，一般来讲
你将做学问的机会放弃以后，再想重新做起将会遇到许多困难。并不是说不可能，也曾有
这种情形发生过，但是真正能够达到的情形，几乎是绝无仅有，做学问是不能中断的。我
遇见过很多朋友，有些甚至是很有名的数学家，他们有些人会讲我现在一方面做行政的工
作，一方面可以做学问，可是事实上，这是没有办法可以达到两者兼顾的情形。我们晓得
做学问几乎是全心全意的工作，当对证明追寻的时候，很难说受到其它外界的打扰，仍能
够达到很高的成功的。以我的经验来讲，在想问题的时候，晚上睡觉也在想这个问题，躺
在床上也在想，早上起床第一件事就是想这个问题。我并不是讲你们也要这样子，我是希
望你们在遇到一个问题要解决的时候，你要全力以赴，不可能在中间慢慢想一点而在其它
也可以花点功夫，这样精神不集中的态度是不可能做好学问的。我想对大家做个建议，假
如你想做个真正的好科学家的话，就不能够再往回走，假如你想做生意，那干脆一开始就
不要想这个问题，并不是你要做个好的教员就要照我刚才讲的，要花这么多功夫，倒是要
念好科学这是很重要的，所以这是第一点，立志很重要。

第二点我要讲的，我在国外多年，遇见过许多很出名的数学家，甚至许多有名的物理学家
我也见过许多。在我认为并没有一个是真正的像一般报纸上所讲的是天才，在我所亲身认
识的大科学家，都是经过很大的努力，才能够达到他所达到的成就。我的学生问我：「为
什么你做的比我好？」，我说很简单，我比你用功。我在办公室或是在家里边，我天天在
想问题，你们在外面玩，而我花了功夫在解决想了很久的问题，我总比你不想、不花时间
成就大一点。你可能去听个大科学家或大数学家演讲，你会觉得漂亮得不得了，怎么一个
人能够讲得这么好！这个人是个天才！可是你有没有想到，他在后面准备花了多少时间想
这个问题？大概你们听过最出名的科学家费因曼，《费因曼物理》注1漂亮得不得了，所
有出名的物理学家都这么讲，去听的人不是学生，都是老师或物理学家。费因曼在准备费
因曼物理的时候是什么事都不做，就只有脑子在花功夫，整天在想这个问题，跟许多学生
不停的在谈这个问题。费因曼是个有名的天才，可是他准备这个研究也花了许多不同的功
夫。我想很多出名的科学家在有所表现出不同的时候，你会觉得他是天才，事实上他用在
后面的功夫都是很不少的。

有许多很聪明很厉害的人可能是研究生甚至是教授，往往你给他一个问题，他可以很快给
你一个答案，同时是很不错的一个答案。可是很多这样出色的学生或是教授，过了很久以
后，你总会觉得他没有做出很好的成绩出来。问题是，你解决的问题太容易了；没有再花
很多精神去考虑这个问题。尤其在我们中国人最缺乏的，就是在做中学生或是大学生的时
候，没有将一个问题从头到尾仔细考虑清楚，并没有真正的全部了解，这是个很重要的问
题。从一个很小的问题，我们可以引发很多不同而且有意思的问题。思考要自己训练，不
单是在联考或在大学的时候，老师出个题目，你考了一百分就完了，假如这样的话，你很
容易就满足你自己，你不觉得问题有什么意思。往往出名的研究是在很平凡的问题里面，
不停的思考所找出来的，很多人因为很快将问题解决了，便不愿再想下去，所以不能够再
启发新的东西。科学的研究，不是解决人家已经晓得的问题。当一个科学家问一个好的问
题的时候，即是成功的一半。因为科学的推动是从不断的找寻新的问题，新的方向出来的
，解决从前的问题虽是个重要的推动方向，可是我们还要找出新的方向，而不单是解决从
前的问题。我们知道在物理上解决问题的时候，往往大的或出名的公式是将前面固定的理
论推翻，而找出新的路子。为什么大数学家或大物理学家能够做到这个地步呢？因为他们
不断的问问题。有时候在一般人来讲很明显的问题，在出名的科学家看起来，就不见得很
明显。为什么不明显呢？因为我们有不同层次的问题要一路考虑下去。问问题的能力是一
个很重要的训练，并不是花很多功夫就可做到，我想在我们中国的小学、中学或大学里都
没有很好的做到这一点，我想从小应该做到这一点的。

现在我们来看数学跟其它物理、化学或生物等实验科学有那些不同？物理或化学等科学是
从一般实验、现象界所找的题目，最后再经过实验的证实，才能算是个成功的理论。理论
物理学家可以发展很多不同漂亮的理论，但最后假如不能够在实验里做出来的话，对物理
学家来讲就是一篇废话。数学家有个好处。就是说，我们做了学问，一方面大部份是从一
般的科学里面产生给我们的，一方面可以当作文学作品来欣赏。我们的取材多采多姿，一
方面是比较基本的，从自然界或物理上的基本粒子、广义相对论、重力场去拿出很多基本
的大自然的问题。这方面对近代几何学上的影响很大，另一方面可从比较没那么基本的理
论里发生出来。所谓不基本，并不是说不重要。我们要了解到我们有些问题是从工业界来
的，譬如说做飞机、做螺丝，甚至做流体变动的问题，都是可产生许多有趣的几何问题或
是数学问题。例如说机械人手怎么去拿东西？这都可以看做是基本的几何问题，物理学家
不一定有兴趣，可是数学家却有很大的兴趣。另外我们也可以对与实际问题不相近的问题
产生兴趣，我们对一个图画得漂不漂亮，我们也可以在数学上研究。几何在数学上的取材
有三个不同方向：第一是从基本自然界里产生的问题。从基本粒子、重力场到电磁波基本
上如何产生的种种重要几何问题，从表面上你看不出来为什么它跟几何有关，但事实上近
代物理将很多这种基本场论的问题变成几何问题，对微分几何来讲有很大的贡献。第二是
刚才所讲，工业界与古典力学出了很多很重要的几何问题。第三就是纯粹从美的观点来找
问题。举例来讲，从数论里面找了许多很漂亮的问题，尤其是近十或二十年来，大部份重
要的数论问题大多是用几何的方法来解决的，这是几何在数学上三个重要的取材方向。

我为什么讲取材的问题呢？因为很多中学生或大学生在念几何或是某些数学课程的时候，
认为我们念那个学科就念那个学科就够了，而不要念其它的学问，这是个很错误的观念。
因为数学里面每一门的学问都有密切关联的，不单是数学，其实所有的理论科学中间都有
很密切的关系。例如我们刚刚所讲的，高能物理与数学的关系，或是化学甚至生物都跟数
学有很大的关系，所以我想怎么学几何呢？第一点是当你决定好要做一个好的几何学家时
，你一定要广泛的学不同的学问，基础要比较广，如微分方程、代数、物理学以及其它学
科，至少在心理上有个准备，就是说这些学科将来是对你有帮助的。你听起来会觉得这是
很困难的事情，你不可能学会这么多种不同的学问。这主要的分别就是你要有一个层次，
你的专科是那一方面，就要多学一点，但不可忘掉其它的学科。有时在某个意义下，我们
可以很惊讶的看到同一个学问、同一个命题，在两个不同的学科里面，可以以不同的方法
出现，就是说以不同的方法证明。我想主要的原因是根本上这两个学科的分别并不是很大
。在几十年前有个出名的物理学家说数学有不可思议的力量。为什么数学能够在物理上有
这么大的影响呢？因为从物理学家的看法，数学家祇是在玩一些简单的符号，纯粹是在家
里想一些自己的问题，与自然界的关系好象不大，其实这是个错误的想法。我们数学家研
究的问题是很具体的，只是有不同的层次，所以有点不同而已。举例来说我们研究微分几
何上一个最简单的图形-圆球，这圆球可以说是一个抽象的观念，我们也可以说它是自然
界很具体的一部份。也就是说我们将所研究的圆球视为自然界的一部份，其实跟物理的现
象差不了太远的。尤其在现代的高能物理里，我们研究基本粒子，尤其到了量子力学的观
念以后，因为能量已经到了很高的地步，所以有很多根本没有办法做实验，所以基本上也
是在家里或课堂里或办公室里用纸笔来算，这跟数学家想象的差不了太远。假如物理学家
可以这么做，表示数学家也能够坐在家里面而对自然界达到某种程度的了解。

为什么我要讲这些呢？这些与微分几何有什么关系呢？我要讲的是你在选题的时候，我们
虽然有个自由度对于选题与自然界无关，但是我们也有一个限度在里面，假如我们选的问
题与现实相差太远，最后我们的命题会被淘汰掉。在历史上出现很多不同的研究，过了十
年、二十年后就完全被淘汰的。你看现在的图书馆里面有许多的文章出现，不过再过个十
年八年以后，我想大部份的文章是会被淘汰掉的，根本在整个数学历史上起不了任何作用
。这是因为很多的文章实在没有解决问题，其次是对我们研究的对象没有产生任何效果。
所以虽然我们数学界不用时间来做证明，可是我们有某种程度的测试。一般来讲，证的很
好的数学，二十年或五十年内都可以看到它在现实里出现帮助。我们晓得在这个二十年以
来，从前许多不重要的问题，在今日的工程上发生很大的影响。举例来讲，从前在数论里
对于质数的搜查这个问题，这完全是一个无聊的命题。就是说一个很大的数，你怎么将它
因子分解得很快。近十多年来，在国防科学上这问题变成一个重要的命题，有许多国防科
学家在做这方面的研究，所以说数学上的选题很重要。为什么因子分解很重要呢？表面上
看来跟真正的用途好象没有什么关联，可是它是一个很自然的问题，一个很大的整数它怎
么分解，很快地，表面上并不重要，但可以帮助我们了解质数的分布情形，所以我说选题
是一个很重要的问题。我记得从前我们在做大学生的时候，花了很多功夫去念一些文章与
参考书，有些对数学来讲是很无意义的，可是反过来说因为花了很多功夫，所以可以了解
到有些问题比较重要，有些问题比较不重要，所以花的功夫并没有白费。

其次我们讲做一个学生应该是怎么一个看法。对于做数学或做微分几何来讲，我觉得研究
的气氛很要紧，尤其在中国的环境里，好象是不太容易培养出这种气氛来。假如你旁边的
朋友或同学跟你谈的都是其它的问题，譬如说股票涨了或跌了或其它问题，久而久之，你
大概对于做学问也没有很大的兴趣，所以培养做学问的态度与你交的朋友、跟的老师的关
系很大。如果你们时常讨论学术上的问题，你就不会觉得自己很孤单，能够激励你对数学
上有更大的兴趣。假如你自暴自弃，就是说你认为自己不能够在数学上做研究，不能够在
数学上达到贡献的话，你永远也达不到，而且同时也影响到你旁边的朋友，使得大家都不
能向前走。我们晓得许多出名的数学家甚至在牢里也可以写一些出名的文章，倒不是你永
远关在牢里就能做好的文章，是说人在最困难的时候也可以做研究。除了气氛很重要外，
你也需要得到先进的支持，从前我们念中学的时候，念了很多关于做学问的方法，从前觉
得很好笑，以后念书念得多了以后就觉得这些很重要，事实上这些是很重要的经验。有句
话说「学而不思则罔，思而不学则怠」，你单是学而不想是不行的，你单是想而不学也是
不行的，这两句话看起来很简单，其实就是怎么分配你的学习跟思想，这是一个很微妙很
重要的问题。一个人无论你多用功多天才，你假如不将前人做过的东西去体验去学习，是
不可能做好的。这道理很简单，一个人的智能有限，我们不可能与前面十年、五年所有人
做过的加起来的智能相比，我们要靠前人的经验，要靠他们的启发，才能够向前迈进，虽
然有人自夸的讲比他们加起来都行，我不相信这种情形，也没见过这种情形。所以出名的
贡献如爱因斯坦、牛顿的贡献，也是在前人的成果方面再向前走一大步或一小步。所以学
是一定要的，可是如果你学过这个东西以后而不去思考，不去消化，就算你可以考第一，
考一百分，但是你不想是绝对没有用的。我们看过很多出名的天才，十二岁就拿到学士学
位，甚至拿了很高分，可是往往我们看不出他以后的成就。为什么很多所谓的天才在以后
的科学发展里没有任何的贡献？这是因为他们没有思考，没有思考在科学上完全不会引起
任何的波澜、任何的贡献，对于整个科学完全没有好处。所以学了以后一定要思考，怎么
分配你的学习跟思考就往往要有导师的帮忙或是同学的帮忙。所谓的帮忙并不是说老师跟
你讲你应当这么做或应当怎么做，这样往往是没有很大的效果，所以我刚刚讲的气氛很重
要。从人家用功的程度或是讲话的态度的启发，或是讲话的时候能够去听，追根出什么东
西来，从它而得到很大的帮助。从前我到柏克莱去念研究所时，我花了很多功夫去听很多
不同的科目，有些人觉得很奇怪，为什么我会去听那些课？我觉得这些课对我有好处，过
了几十年后我还是觉得有好处。有些课在我去听的当时可能不懂，可是听了还是觉得有好
处，因为一个人的脑袋的想法并不是那么简单的，有时候某些东西当时可能不懂，可是慢
慢的就能领悟很多东西。我举例来讲，我做博士论文的时候，我刚好要用到群论的东西，
当时我问过许多专家，但是都不懂，我突然想到从前在某一课上听过一个有关这方面的论
文，我忘了当时讲什么课，但我记得大概在那里可以找这方面的文章，所以我花了2天的
时间在图书馆，结果给我找到差不多是我所要的文章。假如当初不去听这门课的话，我完
全没有这个机会，所以有时候听一门不懂的课，有很多不同的帮助，所以很多研究生我跟
他们讲，你们去听课不一定要懂，你坐在那边总比不坐在那边好，你不坐在那边的话，你
完全不可能知道有其它的方法。

我想最后还是你对整个学问有多大兴趣的问题，假如你对这个学问兴趣不大的话，你没办
法长年累月的坐在图书馆，坐在办公厅里，或是坐在一个课堂上听课，所以你一定要先决
定你对这学问的兴趣有多大，当然做研究还有许多其它方面比较复杂的原因，以后有机会
我们再讲下去。我想现在你们在大学的阶段，最要紧的是决定以后你要做什么东西，其它
的可能就容易做到了。

genie05UID：30358

谢谢DAJ~~上学期他来我们学校发奖的时候也做了个类似主题的报告~~

当时好佩服他了。~~就是太远没看清楚样子~

闲情UID：111016

丘成桐: 我研究数学的经验


送交者: mathjs 2004年8月10日20:57:13 于 [教育与学术]http://www.bbsland.com  

  
我 研 究 数 学 的 经 验

丘成桐 院士
1997年6月9日于新竹交通大学应用数学系

主持人林松山致辞：

今天我们非常高兴能够请到丘成桐院士来演讲，不是讲深奥的数学而是讲怎么去做深奥的数学，好的数学。这讲题是"我研究数学的经验"，是丘院士研究数学的经验，我们欢迎丘院士。

今天林松山叫我讲关于应用数学的问题，我想一想，讲做学问的经验也好。因为我来台湾也差不多五年了，我想很多研究人员做研究的方法并不见得是最好，尤其是我觉得很多年轻人员为什么在国外能够念的好？这是很值得思考的。 所以，我想讲讲我自己的经验，或是我对数学的看法，让大家参考一下。

我想第一讲是最重要的当然是要有热忱，最主要的就是求真的精神，是始终要培养的。我们做学问是为了求真，无论是对自然界的了解或是从数学方面来讲，我们有不同的观念，可是真跟美就数学来讲是最重要的。追求真跟美的热忱很重要，因为我们整个做学问的路上要碰到很多不同的困难，假如我们没有热忱的话，就没有办法继续下去。所以追求学问的最崇高目标，无过于真跟美，追求的目标无误，热情才不会熄减。我们非想办法培养自己对追求学问的热忱不可。几天我在去看我父亲的遗作，其中有屈原：

路漫漫其修远兮，余将上下而求索。

做学问的路很长很远，我们一定要看得很远，因此我们要上下去求索，要想尽办法去求真。怎么去找真跟美，能够始终不断的坚持下去，这是成功的一个很重要因素，如果没有热忱的话，就永远达不到做大学问的地步。我们再举一个国外的例子，在一个有组织的系统里，我们的竞争很厉害，尤其在物理方面或其它实验科学方面的研究，真是分秒必争；有一个题目刚好出来的时候，大家晓得其他人也会做这个问题，很多post doctor 或者是faculty 聚在一起往往工作到深夜，甚至整个晚上不睡觉。这上面当然有一个竞争性在里面，就是希望达到一个目标，比人家快了一点；可是另一方面也是因为求真的热忱很大，刺激着我们使我们不肯放松。否则的话，很多有tenure 的faculty，没有必要这样拼命，可是很多faculty 还是愿意这样子作，我想热忱很重要。我们要晓得，作研究的路是很远的，我们要在中间低潮的时候还能够坚持做下去。很多作研究的人，他往往觉得若不在中心的地方，他不敢去做。有些人去到过最好的地方，他也不敢去碰难的题目。这有很多不同的原因，等一下我们再慢慢谈，可是一个最要紧的我想是基本的功夫要做好。基本功夫没做好往往会出现上述问题。中学的时候，大学的时候或者在研究院作研究生的时候，很多基本功夫都要培养，很多学生在年轻的时候不将基本功夫做好，以后做研究就很吃力。

交通大学着重应用数学，可是我们晓得应用数学主要的工具是从纯数学来的；很多的学生人认为既然是应用数学就不用学纯数学或者是应用物理就不必学基本的物理，这是很大的错误。很多基本的功夫非在作学生的时候学不可，为什么呢？我们要做习题，并且要大量的去做，这是学习基本功夫的必要过程。我想很多现在毕了业拿了博士学位的人看一本书的时候不再去做习题。遇到一些比较复杂计算的时候往往不愿意去算，可是很多基本的想法就是要从计算里面领会得来的。我们所做的命题，最后的时候可能留下很简单很漂亮的结果，可是中间往往要花大量的计算我们才晓得这结果是怎么得到的。做好的研究不是一朝一夕得来的，往往做了一百次，九十九次是错的，最后一次是成功的。但成功的时候，我只跟你讲成功的结果，不会跟你讲九十九次失败的经验。错误的经验往往是很好笑的，因为经常犯很明显的错误，要在做完的时候才知道。可是当讲给人家听的时候很少会跟人家讲错误的那部分，其实做错误的结果让你眼睛明亮，它帮你忙，让你向前走。其实你能做错的结果，已经是很不错的了，因为很多初学的人连怎么进去做这个题目都不能够做到。譬如来讲，你给我一个化学上的问题，我从什么地方开始做我都不晓得，因为我没有这基本的功夫，我根本不晓得要从什么地方开始。

一个好的数学家至少要能够掌握两门以上很基本的功夫。基本功夫不是一朝一夕学来的。譬如讲，有代数的方法、有分析的方法、有几何的方法等种种不同的方法，我们在中学的时候就开始学。有些人喜欢几何，觉得代数没有什么意思不想学，或者是学代数的人不想学几何，各种想法都有，可是最后我们发现真的做研究的时候全部都要用到。有人说我只做一个特殊的题目就永远只去做这方面的题目，结果连这方面的问题也不见得做得好。因为数学的发展是不停地在改变，不断地在改变。自然界能够提供给我们的问题，不会因为你是几何学家就继续不断的提供几何方面的问题，而往往是与几何结合在一起的问题。到了题目来的时候，要用到其它工具，我没办法去了解，我就比其他人吃亏了。例如，很重要的一门"群表示理论"，一般来讲很多地方不教这门课，可是在应用科学或者理论科学要用到，"群表示理论"在物理也要用到。有些好的数学家可以很技巧地运用"群表示理论"分析很多问题。我们可能没有这些办法，这就是因为我们基本功夫没有做好的缘故。我想"群表示理论"大概是进了研究院或者大学后半期的时候学的。中国数学家在这方面的训练不够，因此不如国外学者，可见有些基本学科一定要学好，同时要很早就学。我们学数学的不单是要学数学上的基本功夫，在物理上的基本功夫也要学，这是在大学时就要学的。力学、电磁学我们都要有一定的了解，因为物理跟数学这几十年来的发展越来越接近，很多问题是从物理上提供的。我们假如对这些基本的观念完全不认得的话，我们看到题目就比不上其他懂得这方面的数学家，能够很快的融会贯通。到了这个年代，很多的数学的问题往往是从其他的学问如理论物理、应用数学或其它的科学里来的，他们甚至提供intuition和方法。我们想了很久的一些问题，往往因此得到了解决，假使我们从来都不接触其他科学的话，就完全落伍了。举个例子来讲，代数几何学家这二十年来已有长远的发展。可是到了这几年来用古典的方法或者纤维丛的方法，都没有办法解决的问题，结果从理论物理帮助我们看到以前看不到的可能。由于本身知识的局限，很多代数几何学家遇到这个困难的时候没有办法接受这些专家的看法，遇到理论物理就不敢去碰它。可是物理提供了，解决了我们基本问题的方向，代数几何学又觉得很难为情， 因为他们没有办法去了解，所以这是一个很困扰的问题. 假使你不肯学物理学上的基本功夫，你就很难接受这个新的挑战。记得我看过一本书, 序言里讲作者很感谢代数学家Albert，他为什么感激他呢？他说Albert教我代数，使得我坐下来的时候，看代数问题不会恐慌，使我能够坐下来好好地对待代数上的问题。就是讲我们基本功夫能不能做到如此，我坐下来，看到几何问题或应用数学的问题，可不可以坐下来就想个办法来对付他，我想这是很重要的。我们往往看到问题，坐下来的时候，恐慌的不晓得怎么办，因此就算了，我想大家都有这个经验。你做基本功夫一定要做到你看一个题目，明明是unknown、unsolved的问题，你还是可以坐下来，然后花工夫去解决它。即使你不能够解决它，可是你至少晓得怎样去想办法，同时不会恐慌、放弃，我想这是最重要的。往往我们因为基本功夫没做好，当一个深的题目或看法出现的时候，我们就拒绝去接受，认为这些题目不重要，这是去解释自己为什么不能够去做某一个问题的时候最自然的方法。训练基本功夫要在研究生、大学生或中学生的时候。基本功夫怎样学好呢？有时看一本书完了就放在一边，看了两、三本书后就以为懂了，其实单看书是不够的，最重要的是做习题，因为只有在做习题的工夫里面你才能晓得什么命题你不懂，也理解到古人遇到的困难在那里。习题不单在课本里找，在上课和听seminar时也可以找。我们很多学生上课的时候不愿意去写笔记，不作笔记的话根本不可能去念任何学科。尤其是有时候演讲的人讲的题目是根本不在书本里的，或者是还没有发表的。我常觉得很奇怪,为什么学生不去作笔记，他认为他懂了，其实明明不懂。因为可能连讲课的人自己都还没搞懂，可是听讲的人不愿意去作笔记，也不会去跟演讲的人谈，也不会去跟其他老师讨论。往往你花了一个钟头在那边听，听完了以后就全部忘掉了。因为你没有一个写下的笔记可以温习，怎么可能不忘掉呢？另一个训练基本功夫就是要找出自己最不行的地方在哪里。我们来看"群表示理论"的时候，我们有一大套理论。单看理论是不够的，在应用时往往要知道群表示怎么分解的，你不能够将它写下来则理论对你一点好处都没有。又例如一个方程式的估计问题，你有没有办法瞭解其中的方法，就全靠你实际计算经验，不光念一两本书就足够的。举例来说，我的儿子最近刚学因式分解这个问题，老师教他一大堆怎么分解整数方程的问题。他学了。也学得很好，也学了怎么找根的方法。可是有一次考试是他不知道怎么因式分解？我跟他说，你明明晓得怎么找根，为什么不能够因式分解？主要是他学的时候没想到找根跟因式分解是同一件事情。问题就在于训练基本功夫的时候，要去想清楚数学命题间的关系，了解清楚为什么要解这些命题。我们去看很多人写以前人的事，写了很多很漂亮的介绍和批评。可是你自己没有经历过这一条路的话，你事实上很难了解困难在什么地方，为什么人家会这样子想。要得到这个经验，不单要做习题，还要做比较困难的习题。做困难的习题有什么好处呢？困难的习题往往是几个比较基本的问题的组合。我自己看书的时候，常常会一本书一下子就看完了，觉得很高兴，因为看完了；可是重新再看，反而什么都不懂。我想大家都有这个经验，主要的原因是什么呢？我们没有学好这学科，做比较困难的题目的时候，你就会发觉会遇到困难。尤其是我们做一些题目的时候，往往就觉得似是而非，在脑子里面想，以为已经懂了、可以解决了、就一厢情愿的很快的解决它，很快的看完那一本书，事实上这是欺骗自己，也不是训练基本功夫的方法。一个好的题目，你应当坐下来用笔写下来一步一步地想，结果你会发现很多基本的步骤你根本没有弄清楚。当你弄清楚的时候，你去看你以前需要的定理在那里、怎么证的、我想你会慢慢了解整个学问的精义在哪里。所以说，动笔去做题目是很重要的，我们做大学生的时候还愿意做这个事，往往做研究生的时候，就以为了不起，毕业以后更不用讲，不会动手去写。一个题目在那里，我们很了不起地以为自己懂了，有些是很明显，但有些是似是而非，好像差不多了，事实上不是，里面有很多巧妙在里面。我们一定要动手去做，当你在一门课里面，基本功夫搞得很清楚以后，你就发现书里面很多是错的。 在发现书本里的错误时，你的基本功夫也不错了。我们这个时代的学生不看课外书，连本身的教科书也不看，很使人失望。做研究大家晓得，自己要去找自己的思路。单单上课听听，听完以后不看书，做几个习题就算了，怎么用都做不好。因为你没有想自己的思路要怎样子走。我做大学生刚开始第一年半的时候，因为刚开始将数学严格化，我觉得很高兴。因为从整个logic看去，可以一点一点地推导，从前有些几何或分析上的问题，我觉得可以慢慢将它连起来，我觉得很高兴。我讲这个事情是什么原因呢？我觉得现在很多大学生或研究生对于宏观的数学看法并不热情。就想课本上有题目拿来，能够做完它，你就觉得很高兴。你没有整体地去想整个数学、或者整个几何、或者整个代数，我们须要研究的是什么事情？我们须要追求的是什么对象？我想去考虑这些事情其实并不会花你太多时间，可是你要有一个整体性的想法。整体性的想法是非要有基本功夫不可，就算很琐碎的事情你都要晓得以后，才能对整个科学有一个基本的看法、一个大范围的看法。现在谈谈我个人的经验，我记得我念中学的时候我学了平面几何。大家都晓得平面几何很漂亮，我觉得很有意思。书本上的平面几何的问题大概我都懂得怎么做。可是我觉得还是不太够，所以我将很多基本的问题连在一起，之后开始慢慢想。去发现一些书本没有的问题，去想书本的方法能够有什么用处，是不是大部分平面几何上的问题都可以解决？我想找一些命题是这些方法没有办法解决的。我记得我初中的时候想过一个问题，我发觉没有办法去解决它。花了很多工夫去想，看了很多课外的书来帮忙，最后很高兴地找到一个本书讲那个问题不可能用圆规和直尺来解决，可以用代数的方法来证明。因为经过很多不同的想法，有半年的工夫，完全不晓得圆规和直尺解决不了这个问题，因此看到人家将这个问题解释清楚，就觉得很高兴；那时候是中学生，没有了解Galois理论，所以还是不太搞清楚是怎么证明的。可是我至少晓得有问题是不能用圆规和直尺解决的。也因为经过很长的思考，所以我开始对这类问题的了解清楚得多。也开始欣赏到做数学的精义。我想我们做一个习题或研究，我们最好花些工夫去想想着整个问题的来龙去脉，也多看一些参考书，这对你的帮助很大。因为数学无非是很多方法放在一起解决很多不同的问题。这是一个工具，我们了解一下这整个方法的局限，对基本功夫有很大的帮忙。基本功夫是一个工具，不是一个终点，是一个起步。基本功夫没搞清楚的话，没有办法去讲某个学问好，某个学问不好。记得从前在香港念大学的时候，当时的环境比现在差得很多，图书馆根本没有什么书，也没有什么很好的导师，但是还是看了很多课外书，也看了很多文章。但现在看来浪费了很多精力，这是眼界太浅，坐井观天，不知数学的发展与方向的缘故。以后我到berkeley，也看了很多文章，得益良多。一方面当地图书馆收藏丰富，一方面良师益友的交往，心中开始建立对数学的看法。我中学的时候，老师跟我们讲：好的书要看，不好的书也要看。数学里面不好的书我也看，你可能奇怪为什么不好的书我也看；我是觉得这样子，你一定要晓得什么是好的书，什么是不好的书，所以你看文章的时候，一定要搞清楚这个作者写文章并不见得是了不起的。有些作者，你晓得他的著作是了不起的可以多看，可是从不好的文章里面，你也可以看到许多现代的发展。因为有时候，从简单的写法里面，你反而看得比较容易一点，可是你一定要晓得他里面所讲的命题并不见得是有意思的，你一定要经过你自己大脑去搞清楚。可是他里面的组织往往是有的，普通水平的文章里面往往会引出有名的文章，也会介绍出有名的文章里面讲些什么事情，同时往往会写的比较容易看一点。因为它的水平比较低，它可以学一些大数学家的文章，你看了以后，很快就晓得怎么进出不同的地方，可以和好的文章比较。这是我自己的经验，你不一定要这样子做。

我的建议是大部份的时间看大数学家的作品，小部份时间浏览一般作品，并做比较。我当研究生的时候，有时候从早到晚都在图书馆里面看期刊、看书。当时因为在Berkeley没有研究室，研究生没有研究室很好，整天在图书馆里面坐。几乎主要期刊的文章我都看过，看过并不表示仔细的看，但至少有些主要的定理都看过。当时大部分都看不懂。看不懂没有什么关系。往往你要花很多工夫才能够在细节的部份搞清楚一篇好的文章。因为你第一眼看得懂的文章并不见得太好。并不是讲一定不好，简单的文章有时也有创见，多看文章让你晓得当时的人对于哪一个方向的问题有兴趣，对你有很大的帮助。有很多学生跑来问我问题，我跟他讲某某年有谁做过、做到什么阶段，他们听了很惊讶，为什么我晓得？没有谁讲给我听，是我自己在文章上看到。这很重要，因为你做研究的时候，你要晓得什么人做过、解过哪些问题，对你的帮助很大。因为往往做研究的时候，你须要晓得得只是谁做过、在什么地方可以找到这个方面的文献，你以为有了这个帮助以后，你可以跑回去找这个文件。甚至你只要晓得那一年代谁碰过这个问题，对你也有很大的好处。有很多名家的文章往往比人家做快一步，就是因为他晓得谁做过这件事情，他可以去找这方面的文章，或者去找某个数学家帮忙，否则的话，做数学的有十几万人，你根本不晓得谁做过这个方面的问题，谁没有做过。所以在这方面多学一些人家做过的问题，无论出名的文章也好，差的文章也好，都看一看。我当然是建议你多看一些出名的文章，因为差的文章等于是消遣性，看武侠小说一样，看完就放在一边。你有追求的热情以后，慢慢地在将不同的看法放在一起。到了这个第一步以后，我觉得你可以开始找自己的题目。因为你开始晓得整个数学界主要在看什么问题。一个好的数学家怎么找自己的问题是很重要的。当然有不同的找法，有些人要发展一套理论，有些人要解决难题，理论的目标最后还是要解决问题的，所以解决重要问题是发展一般理论中一个很重要的一环。举例来说，像Poincare Conjecture，它是三维拓扑中最主要的猜想，我们晓得前人花了很多心血去解决它，到了现在有很多不同的尝试方法，各自成一个气候。这个命题已经变成一门学科而不再是一个独立的问题。这是三维空间的结构问题，需要彻底解决此猜想才算圆满。另一方面有些人为什么对Poincare Conjecture 有兴趣，对其他问题兴趣不大，那是因为它是公认的难题。我想选题方面每个人有不同的看法。我有很多朋友是很出名的数学家，他们只想解决出名的问题，我认为这是错误的选题方法。在数学上，我们应该有整个的有系统的想法，想整个数学目的在那里，应当解决什么样的问题。

你们可能都念过王国维讲的做大学问的三个阶段，第一阶段是晏殊说的 "昨夜西风凋碧树，独上西楼，望尽天涯路。" 这是王国维讲做大学问的第一个阶段，要解释这一段话，我要再说明基本功夫的重要性。如果基本功夫没有做好，你根本望不远。你叫中学生去望尽天涯路，根本是不可能的事，最后讲一些空谈的话。对数学或者科学上的历史不了解的话，你根本没有资格去谈以后的事。不是叫你去全部了解，至少有一定的了解。现在很多学生，尤其是研究生，我觉得比较头痛，教他做一个小题目， 做了以后，一辈子不愿意放。不停的写小文章，写了文章当然可以发表，对某些年轻人来说讲，他认为这样子很好，不想重要的问题，今天能够写一篇小文章，明天能够写一篇小文章，就可以升级，假如不写出来的话，生活上会受到困挠。这都是对的，可是你真的要做一个好的题目，其实也不见得那么难。一些研究生的论文是历史上有名的著作。为什么他们能够花三、四年的工夫，做出这么出色的工作？他们是从不懂到懂，然后还要再向前进。表示真的要做好的题目，并不是像你想象要花很多很多的时间才能够做到，问题是你的决心是怎么样。昨夜西风凋碧树，就是说你要望很远的话，要将前面小的树去掉，才能看的远。假如我们眼界里面看的都是小题目，永远都看不远。我们要懂得怎么放弃些渣滓，才能够做一些好的题目，我想这是一个很重要的事请。你不愿意放弃你明明晓得不会有前途的问题，就永远做不到好的问题。这是一个困难的选择，因为你觉得毕业、升级的问题，而不愿放弃你明明晓得不会有前途的问题，那你永远不会成就一个大学问的。我记得我刚学几何学的时候，当时流行的度量几何，所有工具都是三角比较定理来的，我始终觉得对几何的刻画不够深刻，后来我和我的朋友和学生开始一系列用到微分方程做工具的几何研究，我也很庆幸当时愿意放弃一些小的成果，走一条自己的路。我们选题的时候，可以跟出名的数学家、跟导师或者是从书上去看，可是最后的思考一定要有自己的想法才能做成大学问。因为你自己没有你自己的想法，你始终跟着人家走，是没有办法做好学问的。可是你可能没有资格做这一件事情，因为你对于这一门学问还不懂。我一开始讲了一大堆，就是因为我希望你们去想一想基本功夫要做好，要你对这一门学问里的不同命题要晓得。就像你去买货，你要晓得百货公司里面有可能出现什么东西，你才去挑。王国维谈学问的第二阶段是柳永的诗："衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。"寻找真理的热情就如年轻的恋人对自己的对象的追慕，那是很重要的事。在追求一个好的命题的时候，中间要花很多工夫，有时候甚至是很痛苦的。可是我们只要晓得，最后的成果是值得的，我们就会花很多工夫去做，就像爱情一样。很多年轻人找对象时，朝思暮想，当做学问却没有这种态度。假如你对做学问没有热情没有持久力的话，你就不可能做成大学问。其实屈原说"亦余心之所善兮，虽九死其尤未悔。"比柳永更来得彻底。接着下来大家都晓得王国维的第三阶段是： "梦里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。"当然这是辛弃疾的诗，不是我讲的，可是基本上我们都有这种感觉。你真的做过一个好的文章的时候，就有这种感觉。我们花很多工夫做一个好的命题，有想法的时候，你考虑这个想法对不对有时候晚上睡不好，想得很辛苦。有时候想的辛苦了，就一睡睡很久，假如你做学问做到这个地步，你会解决很多意想不到的问题。我想没有人是特别聪明，可是你花了很多工夫，能够进入交通或清华大学，应当资质都不会太差。我想你花了那么多工夫进研究院，一定希望有一些成果。我们做学问跟爱情不太同，有时候不一定看到一个目标，而是看到其它。就像我刚才讲的，我们要解决Poincare conjecture，最后还没解决它，可是解决了其它的命题，这是数学历史上常常有的。每一个人都有这个经验，你明明要解决这个问题，结果发现解决了其它的问题。这是因为我们做这个题目的时候，不晓得走法对不对，可是你将这个工具全部搞好以后，基本的想法、有意思的想法你自己晓得以后，就可以解决很多问题了。在这个路上走的时候，思想不要太顽固。你要知道还有其他有意思的问题。就是你发展了一套想法以后，往往有其它的问题你刚好可以解决。可是也因此你要晓得，你在整个做研究的过程里面，你眼睛要睁开，眼睛怎么睁开呢？很多学生不愿意去听colloquium，也不愿意去听其他人的seminar。不听seminar就不晓得人家在做什么东西。明明你的方法可以解决他们在做的问题，但你眼睛闭起来、看不到，这是一个很大的困难。很多学生尤其是中国学生，讲我的论文是做这个，这个seminar与我的论文无关，我不愿意去听、不愿意去看、不愿意去跟人家来往、不愿意去跟人家谈。结果你做的论文可能不是你能解决的问题，可能你的方法刚好可以解决人家的问题。因为你不愿意去听、去看，你就解决不了问题。一个人的思维有限、能力有限，你不可能不靠人家的帮忙。什么是人家的帮忙呢？一方面是看文章，听seminar，一方面就是请教名家。你自己去请教别人的时候，百分之九十五人家不晓得你在做什么，也不可能提供你直接的意见。假如能够直接提供你意见，帮你直接地解决问题的话，你这个问题不见得是很重要的问题。

可见你刚开始没有搞清楚这个问题有多重要。但不要紧。多请教别人总是有好处，至少晓得这个问题有多好，还是不好。假如你怕发问，就在seminar或colloquium的时候要多听，多听对你的好处多得不得了。你在seminar里面就算听不懂的话，至少你在看他写的头两个字，你就晓得最近人家在做什么事情。你可能觉得莫名其妙，可是事实上你可以得到好处，这是很要紧的。所以能够有机会尽量去听不同的课，对你是有很大的好处；念纯数学的也应当去听应用数学或物理方面的课。听seminar时，即使relax一天，也没有什么关系，反正总比在家里面无聊或看电视好。怎么在一个孤立的地方，也能够做一个好的学问。我举个例子来讲，十四年前，复旦大学有一位学生，他要来跟我，我答应了收他。结果因为当时复旦大学的校长怕留学生全部走掉了，所以不准他出国，因此他没有办法来跟我。但是他将我80年写的问题集，大概有一百题的样子，选了其中的一个题目去做，拼命的在做。我不晓得他拼命的在做这一个题目，虽然他在一个比较孤立的地方，可是十多年来只做这一个题目，最后去年做出很重要的结果。我觉得很高兴，因为这一个题目是一个很不简单的问题。可见你只要找对了题目，同时你拼命的花工夫去做，就算你不跟人家来往的话，也不见得做不出来。当然我不知道他是不是完全不跟人家来往，因为复旦大学里面也有一些很不错的数学家。我想不可能全部都不跟人家来往。可是在交大、清华这些地方是不能讲是全部孤立的地方。在这个条件之下，我觉得绝对是可以做好的学问，只要我们将整个思路搞清楚、整个问题搞清楚。

今天讲的主要是我觉得来了五年，我想讲一讲我念书的经验，希望你能够参考，我是这样子的做法。可是不见得每一个人都要有这样子的做法，因为每一个数学家都有对学问不同的看法。你可以追随不同的路线，可是我想最开始所讲的基本工夫要做好，是永远少不掉的。然后要尽量去开发自己的领域，题目一定要做重要的。后来真的做得到的可能是比较小的结果。可是总比一开始只想做不重要的题目来得好。到了解决整个主要的问题以后，你的看法或对于整个学问的看法又不同，你会有不同的想法。今天就讲到这里，谢谢大家。

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丘成桐: 我的数学之路


送交者: mathjs 2004年8月10日20:46:30 于 [教育与学术]http://www.bbsland.com  

  

我在香港的郊区──元朗和沙田──长大。那里没有电，也没有自来水。小时候就在河中洗澡。家中有八兄弟姐妹，食物少得可怜。五岁时参加某著名小学的入学试，结果没考上。原因是用了错误的记号，如把57反写成75，69反写成96等。
我只能上一所小小的乡村学校。那里有很多来自农村的粗野小孩。受到这些小孩的威吓，加上老师处理不善，不到一年，我便身患重病。在家中养病的半年，我思索如何跟同学老师相处。升上小六时，我已经是一群小孩的首领，带着他们在街头乱闯。
家父是位教授。他教了我不少中国文学。可是，他并不知道我曾旷课好一段日子。﹙或者这是因为我在家中循规蹈矩，他教授的诗词我也能背诵如流。﹚逃学的原因是老师不怎样教学，在学校闷得发慌，不久连上街也觉得无聊了。当时香港有统一的升中试。我考得并不好，但幸好分数落在分界线上。
政府允许这些落在分界线上的学生申请私立中学，并提供学费。我进入了培正中学。培正是一所很好的中学。中学生涯的第一年乏善可陈。我的成绩不大好，老师常常对我很生气。大概刚从乡村出来，“野性”未改吧。我热衷于养蚕、养小鱼，到山上去捉各种小动物。沙田的风景美丽清新，在大自然的怀抱里，倒是自得其趣，到如今还不能忘怀。
当时武侠小说盛行，我很喜欢读这些小说，没有钱去买，就向邻居借。父亲不赞成我读这些小说，认为肤浅，但我还是偷偷去看，也看了各种不同的章回小说如七侠五义、说岳全传、东周列国志等杂书。
父亲从我小学五年级教我诗词、古文和古典小说如三国演义、水浒传、红楼梦、西厢记等。父亲坚持我在看这些小说时，要背诵其中的诗词。当时虽以为苦，但顺口吟诵，也慢慢习惯。总觉得没有看武侠小说来得刺激。
但是真正对我有影响的却不是武侠小说。中国古典文学深深影响了我做学问的气质和修养。近代的作品，如鲁迅的也有阅读。记忆深刻的：「路是人行出来的，自己的路更要自己去走。」
我们家中常有父亲的学生来访，往往兴高采烈的谈学问。他们讨论时常常谈及希腊哲学，虽然我对希腊哲学不大了解，但却对它留下深刻的印象。希腊学者对真理和美无条件的追求是我一生做学问的座右铭。他们对康德的哲学、对自然办证法的讨论使我莫名其妙，但是久而久之，竟然引起了我对自然科学的兴奋。西方的作品如浮士德、战争与和平等文学著作，虽有接触，但远不如中国文学对我的印象深厚。
我开始研读史学名著史记和左传。对史记尤其着迷。这不仅是由于其文字优美、音调铿锵，还是因为它叙事求真，史观独特。直到现在，我还不时披阅这书。史学大师驻足高涯，俯视整个历史，与大科学家的思入风云，干宇宙之奥秘遥相呼应。
在当时读这些文章，大多部份不能够领会，尤其困难的是读冯友兰写的新原道和新原人，但是重复的去读，总有点收获。

晋 陶渊明
好读书，不求甚解，
每有会意，便欣然忘食。

其实在做科学时，也往往有同样的经验，读书只要有兴趣，不一定要全懂，慢慢自然领会其中心思想，同时一定要做到：

不戚戚于贫贱，不汲汲于富贵。

这是古人的经验，陶渊明的古文和诗有他的独特气质，深得自然之趣，我们做科学的学者也需要得到自然界的气息，需要同样的精神。
在以后的日子里，我都以此作为原则，以研读学问为乐事，不以为苦。在父亲的循循善导下，我开始建立我对人生的看法。到如今，我读史记至以下一段时，仍然使我心志清新：

司马迁 孔子世家赞
天下君王至于贤人，众矣！
当时则荣，没则已焉，孔子布衣，
传十余世，学者宗之。

假如我们追求的是永恒的真理，即使一时的挫折，也不觉灰心。

韩愈
苟余行之不迷，虽颠沛其何伤。

我读左传，始知有不朽的事情。

左传
叔孙豹论三不朽
太上有立德，其次有立功，其次有立言，
虽久不废，此之谓不朽。

以前我以为立德跟立言没有关系，但是数十年的观察才知道立德的重要性。立德立功立言之道，必以谦让质朴为主。
我有一个学生在南京大学电视台访问自炫：「会当凌绝顶，一览众山小」，真轻妄浮夸之言。其实远山微小，越近越觉其宏大。往往众人合作才能跨过困难的地方，在没有尝试创作性的学问时，才会说这种肤浅的说话。
在培正的第二年，我多言多动，老师要记我小过。她是我的班主任，责任心强，诚然是为我好。当她知道家父是位教授，但却拿着微薄的薪酬后，大为震动。此后在她悉心栽培下，我在课堂上规矩多了。就在这年，我们开始学习平面几何。
同学对抽象思维都不习惯。由于在家中时常听父亲谈论哲学，对利用公理进行推导的做法，我一点也不觉得见外。学习几何后，我对父亲的讲话，又多明白了几分。利用简单的公理，却能推出美妙的定理，实在令人神往。
对几何的狂热，提高了对数学──包括代数──的鉴赏能力。当你喜欢某科目时，所有有关的东西都变得浅易。我对历史也甚有兴趣。它培养我对事物要作一整体观。事件是如何发生的？到底是甚么原故？将来会如何？
就在这时，父亲完成了他的西方哲学史。他跟学生谈话，总是说应整体地看历史。这种观念深深地影响了我。这种想法，在往后的日子中，指引我去寻找研究项目。父亲的书对我有很深的影响。 书中第一页的引言：

文心雕龙 诸子
身与时舛，志共道申。
标心于万古之上，而送怀与千载之下。

这是何等的胸襟，与古人神交，而能送怀与后世，确是一个学者应有的态度。
哲学史的目的有三，
一曰求因，哲学思潮其源甚伙，必先上溯以求之。
二曰明变，往昔哲学思想交缠屈结，故重理其脉络，是为要务。
三曰评论，所有思潮及其流派，皆一一评论，作警策精辟之言。
这三点和自然科学的研究有密切的关系，再加上创新，则可以概括研究的方法了。
十四岁时，父亲便去世了。这或许是我一生中最大的打击。在一段颇长的日子里，对父亲离开了我和家人的事实，我都不能置信。家中经济，顿入困境，我们面临辍学。幸得母亲苦心操持，先父旧交弟子的援手，我们才幸免沦落。
家中剧变，令我更成熟坚强。困境中人情冷暖，父亲生前的教导，竟变得真实起来。以前诵读的诗词古文，有了进一步的体会。我花了整整半年，研习古典文学和中国历史，藉此抚平绷紧的心弦。典丽的诗词教人欣赏自然之美，排除了世俗功利的思想。
我阅读了大量数学书籍，并考虑书中的难题。当这些难题都解决掉后，我开始创造自己认为有挑战性的题目。由个人去创造问题此后变成我研究事业中最关键的环节。学校的课本已经不能满足我了。我跑到图书馆、书店去看书。我花了许多时间打书钉，阅读那些买不起的书本。我读了华罗庚先生写的很多参考书，无论在分析或数论上的讨论，都漂亮极了。也看了很多帮助课堂解题的书，例如陈明哲写的一些小册子，一般来说，我会比课程早一个学期做完所有的习题，所以听数学课是一程享受。
打从十五岁起，我开始替低年级学生当家教，以帮补家计。我找到一些巧妙的方法，使成绩低劣的孩子摇身变成优等生，为此我觉得有点飘飘然。我积累了教导年青人的经验，同时也体会到教学相长的道理。
我们的数学老师十分好。他教授的内容，比课程要求来得艰深，但我觉得丝毫不费气力。其实我的同学们虽然叫苦，但是总的来说，数学都不错，这叫做取法乎其上，得乎其中。近代数学的教学方法，恐怕适得其反，取法乎其中，得乎其下。
当时我们的物理老师不太行，对此不无失望。中学时养成不了物理上的基本直观，至今于心还有戚戚焉。国文老师却是无懈可击。他是我的父执辈。他教导我们思想要不落俗套。
国文教师说思惟要自出机杼，读好书之余，烂书也无妨一读，以资比较。因此我甚么书都啃。他这种观点，就是放诸我日后的科学生涯中，也有其可取之处。

作文堂的一个典型题目︰
猪的哲学观

于是大伙儿兴高采烈，自由发挥。在班里我并非名列前茅，数学科的等级也不见得最高。但我比同班诸子想得更深，书也读得更多。
中学读书，除数学外，真正对我前途有影响的是国文和历史。现在来谈谈中学国文和历史对我的影向。下面一段文章使我觉得做学问是我一辈子的志愿。

典论 论文 曹丕

盖文章，经国之大业，不朽之盛事。年寿有时而尽。荣乐止乎其身。二者必至之常期，未若文章之无穷。是以古之作者，寄身于翰墨，见意于篇籍，不假良史之辞，不托飞驰之势，而声名自传于后。

有了做学问的志愿后，我尽量培养自己做学问的兴趣，这要从做大量的习题和思考开始：

论语
学而时习之，不亦乐乎。
学而不思则罔，思而不学则殆。

追求学问的道路曲折有致，必须要有毅力，才能持久。楚辞所描述的浓厚的感情使我感受良深。

离骚
亦余心之所善兮 虽九死其犹未悔
抽思
惟郢路之辽远兮 魂一夕而九逝
离骚
路曼曼其修远兮 吾将上下而求索

我在中学和大学时就注重培养气质，有好的气质，才能够有志趣去做大学问。

孟子︰我知言，我善养吾浩然之气。

有很多人以为自己不是天才，没有办法做大学问。

曹丕︰譬诸音乐，曲度虽均，节奏同检，至于引气不齐，巧拙有素，虽在父兄，不能以移子弟。

但我认为这是错误的看法，气质是可以改变的，以下一个故事可以说明这个看法：

琴苑要录：“伯牙学琴于成连，三年而成；至于精神寂寞，情之专一，未能得也，成连曰：吾学不能移人之情，吾师有方子春，在东海中，乃赍粮从之，至蓬莱山，留伯牙曰：‘吾将迎吾师。’刺船而去，旬时不返，伯牙心悲，延颈四望，但闻海水汩没，山林谷冥，群鸟悲号，仰天长叹曰：‘先生将移我情。’乃援琴作歌。”

可见师友和读书的环境却足以转变人的情怀雅志。我在中学、大学和研究院都深受良师益友的影响，以后才慢慢成长。
其实做学问，无论是自然科学或文学都有气质的问题，从文章中，往往可以看出作者的修养。古代注重音乐，从乐声中可以看见国家的盛衰，也是同样的道理。

季札观乐﹙左传﹚
吴公子札来聘，请观于同乐，使工为之歌周南召南。曰美哉，始基之矣。犹未也，然勤而不怨矣，
为之歌郑，曰美哉，其细已甚。民不堪也，是其先亡乎。
为之歌齐，曰美哉，泱泱乎，大风也哉。表东海者，其太公乎
为之歌大雅，曰广哉，熙熙乎，曲而有直体，其文王之德乎。

在培养我自己的气质时，我尽量观摩别人的长处。

韩愈
师者，传道授业解惑者也。
论语
三人行，必有我师焉。

我觉得在与师友相交之际，需要言必及义，而最重要的乃是善于发问。善问者如叩钟，问之大者则大鸣，问之小者则小鸣。中国科学家最欠缺的是发问的精神。历史上最著名发问乃是屈原的《天问篇》︰

遂古之初，谁传道之，上下未形，
何由考之……。日月安属，列星安陈。

以后的学者很少有这种精神，可能是中国科学不发达的一个原因。
善于发问后，才能寻找到自己志趣所在，才能够择善而固执之。
很多同学开始时读书读得很好，以后就灰心了，不求上进，一方面是基础没有打好，又不敢重新再学，一方面是跟师友之间的关系没有搞好，言不及义，得不到精神上的支持。有些则名利熏心，不求上进。我有些学生毕业时很踏实，受到表扬，就以为自己了不起，事实上学问还没有成熟就凋谢了。这都是因为气质和志趣没有培养好的缘故。

离骚
民生各有所乐兮 余独好修以为常
虽体解吾犹未变兮 岂余心之可惩
涉江
苟余心其端直兮 虽僻远其何伤
离骚
何昔日之芳草兮，今直为此萧艾也。
岂其有他故兮，莫好修之害也。

以下韩愈作文的态度一直影响了我做学问的方法︰

韩愈 答李翊书
始者非三代两汉之书不敢观，非圣人之志不敢存，处若忘，行若遗，俨乎其若思，茫乎其若迷。当其取于心而注于手也，惟陈言之务去，戛戛乎其难哉！
其观于人也，毁之则以为喜，誉之则以为忧，以其犹有人之说者存也。如是者亦有年，然后浩乎其沛然矣。吾又惧其杂也，迎而距之，平心而察之。其皆醇也，然后肆焉。虽然，不可以不养也。行之乎仁义之途，游之乎诗、书之源，无迷其途，无绝其源，终吾身而己矣。

一九六六年我进了中文大学。虽然对历史抱着浓厚的兴趣，我还是选择了数学作为我的事业。
就在这时，中学时念的高等数学渐渐消化，开始时还不大懂，但一下子全都懂了。我比班中同辈高明不少。
大学的数学使我大开眼界。连最基本的实数系统都可以严格的建立起来，着实另人兴奋万分。当我了解数学是如此建构后，我写信给教授，表达我的喜悦。这是本人赏析数学之始。
一位刚从伯克利毕业的博士来了香港，他名叫Stephen Salaff。他对我大为赞赏，我们合写了一本有关常微分方程的书。
另外一位老师Brody来自普林斯顿。他有一套独特的教学法。他找来一本高深的数学著作，然后要求学生在书中找寻错误，并提出改正的方法。这是让我们不要盲目依赖书本的良方。同时也训练了我对书本上定理采取存疑的态度。我有时将某些定理推广了，在课堂上说出来，他听了很高兴。
这些教导的重要性在于
── 培养成独立思考的习惯
── 在人前表达数学的时候，找出自己的弱点，与同学和老师一同切磋。这不论对自己或对自己日后的教学都十分要紧。
虽然只读了三年大学，已经完成了大学的课程。在Salaff教授的帮助下，我进入了伯克利的研究院。伯克利的数学系当时在世界数一数二。我八月入校，便认识了陈省身教授。他后来成为我的论文导师。
在香港时我醉心于极度抽象的数学﹙当然我的分析功夫也很扎实﹚，觉得数学愈广泛愈好。我打算念泛函分析，已经学了不少这方面的东西，包括N.Dunford和J.T.Schwartz有关的巨册（三卷本的Linear Operators），还有不少有关算子代数的书。到Berkeley后，认识不少卓越的学者，我的看法改变了。
我如饥似渴地从他们处学习不同的科目。从早上八时到下午五时我都在上课﹙有时在班上吃午饭﹚。这些学科包括拓朴、几何、微分方程、李群、数论、组合学、概率及动力系统。我并非科科都精通，但对某几门学问格外留神。学拓朴时，发现跟以前学的完全不同。班上五十人，每个人看来都醒目在行，比我好多了。他们表现出色，说话条理分明。
于是我埋首做好功课，不久之后，我发现自己毕竟也不赖。关键是做好所有棘手的题目，并把这些题目想通想透。
我读了John Milnor的一本书，对里面讲到的曲率的概念深深着迷。 Milnor是位卓越的拓朴学者。我开始思考与这书有关的问题，并大部分时间呆在图书馆。当时研究生并没有办公室。伯克利名牌教授不少，然而不久之后，我对他们竟有英雄见惯的感觉。在图书馆里我读了不少书藉和期刊。
在伯克利的第二个学期，我渐渐能证出一些不简单的定理。这些定理与群论有关。在崇基时，我跟老师聊天时曾谈及有关的内容，我现在把它用到几何上去。教授都为我的进展而惊讶不已，欣慰非常。其中一位教授开始与我合作，写了两篇论文。陈省身教授其时正在放年假。当他回来时，对我的表现甚为嘉许。
纵然如此，对这些工作我倒不觉得怎样。摩里教授﹙Charles B. Morrey﹚有关非线性偏微分方程的课，另人难忘。他教授的非线性技巧，当时并不流行。他的书也佶屈聱牙。但我隐隐感觉到他发展的技巧十分深奥，对未来几何学的发展举足轻重。我用心地学习这些技巧。虽在盛名之下，听他课的学生同事都不多。到学期终结时，我竟成为他班上唯一的学生。他索性就在办公室里授课了。这科目后来成为我数学生涯的基石。
完成几篇文章后，陈教授到处说我是何的出色，虽然他对我的工作认识不深，他的话实在过分夸奖了我。我也开始全盘地思考数学，尤其是几何。我也试图去研究几何学的其它问题，可是进度缓慢。这年夏天老友郑绍远从香港来了，我们在校园旁租了一所公寓，心情更加开朗了。
就在这个夏天，我请求陈教授当我的论文导师，他答应了。约一个月后，他告诉我，我在一年级时的文章，已够格作为毕业论文。我有点闷纳，心想这些工作还不够好，而且我还希望多学点东西。就这样，在第二个学年中我学了不少复几何及拓朴。陈师对我期望甚殷，他提议考虑Riemann猜想。十分遗憾的是，到目前为止，我还没有想过它。
代而之者，我尝试去了解空间的曲率。我确认Calabi在五十年代作出的某建议，会是理解这概念的关键。当时我不认为Calabi是对的。我开始对此深思苦想。这并不是个当代几何学者研究的标准课题，明显地，这是分析学上的一道难题，没有人愿意跟它沾上边。
我渐渐养成把分析作为工具引进几何中的志趣。在此之前，曾有人把非线性理论用于三维空间的曲面上。但我考虑的，却是任意维数的抽象空间。由于Morrey教授及陈师对极小曲面的兴趣，我亦对这项目深深着迷。对调和映照尤其情有独锺，并因此钻研了变分法。
我对几何中的所有分析内容都感兴趣。简而言之，就是要把非线性微分方程和几何融汇成一体。要了解非线性方程，就必须先了解线性方程。因此我建立了在流形上调和函数的主要定理。在我的影响下，郑绍远研究了有关的特征值及特征函数等问题。我们合作写了几篇重要文章，到而今还是这项目的基础。
毕业时我得到几份聘书。陈师提议我到高等研究所（IAS），那儿的薪水不及Harvard提供的一半。但我还是到那儿去了。在高等研究所我认识了其它科目出色的数学家。同时提升了对拓朴，尤其是空间对称理论的鉴赏力。事实上，我利用分析的想法应用到流形上的群作用的课题，我得到了这科目的一些重要结果。
由于签证的问题，我到了纽约Stone Brook分校。当时Stone Brook是尺度几何的重镇，事实上那儿真的不错，聚集了一批朝气勃勃的几何学家。我学习他们的技巧，但并不认为那是几何的正确方向。一年后我到了Stanford，当时那里并没有几何学者。 Stanford环境安宁，非线性偏微分方程很出色。在那里我碰见好友Leon Simon及共同的弟子Richard Schoen。我们一起拓展了在几何上的非线性分析。

晋 陶渊明
久在樊笼里，复得返自然。

我刚到斯坦福时，一个几何大会正在举行。有位物理学家应邀就广义相对论发言。当时我对物理还不算在行。但对他提及有关相对论的一个几何问题却一见倾心。赋予空间的数学解释，与空间物理导出数学问题，两者皆令人神往。
这问题当时对我而言，还是遥远不可及。但我对它念念不忘。在会议期中，我找到了一个办法，去反证Calabi的提议。我讨论了我的想法，反应似乎不错，没人提出异议。人们都松了口气，毕竟大家都猜对了，Calabi猜想是不对的。
两个月后，Calabi教授写信给我，厘清了我的一些想法。我在推理中找到一个严重的决口。在我的研究生涯中，这可说是最痛苦的经历了。我辗转反侧，不能成眠。
差不多两个星期都失眠，眼见名誉因犯错﹙虽然我没把想法成文发表﹚而毁于一旦。经过反复仔细审阅每个步骤后，我相信问题反过来才对。为Calabi猜想举出反例，其论据是先假设它是对的，然后考虑其后果。数年后，当我解答了这个猜想，很多有关的自然推论就水到渠成了。
意识到Calabi猜想是对的后，我便朝着正确的方向迈进。在准备最后的证明前，需要大量的准备工作。我和郑绍远合作研究Monge-Ampérc方程、仿射几何、极大曲面等相关问题。与Richard Schoen合作搞调和影照，与Richard Schoen和L.Simon搞极小曲面。在短短两年里，我们于与几何有关的非线性分析，硕果累累。这是几何学的黄金时代。
新婚伊始，我找到完成Calabi猜想的正确想法。我终于掌握了Kähler几何中的曲率的概念了。一些老大困难的代数几何问题，都因Calabi猜想的证明而解决掉。当时我认为我是首先了解到Kähler几何的曲率结构后，有物我相融的感觉︰

落花人独立 微雨燕双飞

这个工作影响至今，可以看最近的一个报导：

纽约时报 2003年9月2日
宇宙一悬案 众人答案殊

弦理论中的一个困难在于它要用十维的时空来描述，而我们生存的空间只有四维而已。Strominger博士回忆起他在找到数学家丘成桐博士的一份论文时的万分喜悦之情。丘博士现任教于哈佛大学及香港中文大学。在这篇文章里他证明了Eugenio Calabi博士提出的猜想。Calabi博士现已从Pennsylvania大学退休。猜想指出这些额外的维数虽然不可捉摸，但在微观下可以想象它们卷曲起来，就像地毯的小毛圈。
完成Calabi猜想的证明后，我看出自己建立了融合两门重要科目──非线性偏微分方程和几何──的架构。一九七六年我在UCLA碰见老友Meeks，他是我在研究院时的同学。他的景况不大好。Meeks是位具原创性的数学家，我向他提议合作，试图把极小曲面和三维流形的拓朴联系起来。
结果成绩斐然。我们解决在这两门科目中的两个经典难题︰
1.当一块肥皂膜的边界是凸时，膜面不能自相交。
2.Smith猜想的证明，这是与Thurston工作结合的成果。一旦把方向校正了，很多古典问题便能迎刃而解。
次年，我回到伯克利访问，并组织了“几何上非线性问题”的研讨班。R.Schoen和郑绍远都在那儿。和R.Schoen一起，我们终于解决了那个使我念念不忘的有关广义相对论的难题。这道难题叫做正质量猜想，它在广义相对论中占基本的地位。﹙只有当质量为正时，时空才能稳定。﹚
1978年我又回到斯坦福。和萧荫棠一起，我们利用极小曲面作为工具，解决了复几何上有名的Frenkel猜想。我也利用了调和映照作为工具去研究复几何和离散群的刚性问题，以后萧荫棠在这方面有极大贡献。这些想法，迄今仍有其重要性。利用我们在广义相对论的工作，R.Schoen和我研究了具正纯量曲率的流形的结构。
1979年我们在高等研究所举办微分几何年。差不多所有几何学家都来了。我们为几何学厘定了发展的方向。我提出一百条在几何里的有趣问题。到目前为止，有的已经解掉了，但有的还是迄立不动。1970年代确是几何学的丰收期。
到了1970年代末期，我在数学界可说是略有名望。对于我解决的难题，媒体也有广泛报导。然而，认为我的奋斗目标是奖项，是成名成家，那就不对了。这些都不是本人研究的首要目标。我对数学的兴趣，源于人类智能足以参悟自然的欣喜。从几何上看，大自然的美是永恒不朽的。
与朋辈如R.Schoen、L.Simon、郑绍远、Meeks、K. Uhlenbeck、R. Hamilton，和稍后的S.Donaldson、H. Taubes、G. Huisken等人的共同努力下，几何上的非线性分析已汇成大流。它于探讨自然之美中的作用不容低估。晚近的进展更显示它在物理及其它应用科学中的重要性。
当几个重要领域──几何、非线性分析、代数几何、数学物理──自然地融合在一起后，经典的老大难题便会迎刃而解。解决难题可以视为人们理解大自然的路灯柱。
但是几何学实在超越了科学家的想象，它日新月异，观念层出不穷，伟大的数学家C. F. 高斯(1817)曾说：

“窃意以为几何之本，其真伪实非人类心智所能证明，亦非人类心智所能理解者，余意于此，日久迩坚。此等空间之属性，莫测高深，后之来者，或有灼见，得窥堂奥。惟今之世，吾辈宜视几何学与纯先验之算术为殊途，宜彼与力学并列也。”

在过去十年间，我和合作伙伴正在致力研究基本物理在几何中的作用。为了从物理中掌握动机后面的直观，我花了不少时间参加物理系办的研讨班。在与理论物理学家的交往中，我们获得了一些数学上深刻的定理。其中重要的概念是所谓对偶性。
对偶性这概念，优美典雅。它指出在某理论中的强作用等同于另一理论中的弱作用。这与中国道家谈阴阳有不少共通之处。但对偶性严格得多，同时它是定量的。利用它我们可以算出某些数学量。如果用其它方法来进行，那是极度困难的。
新的理论物理和现代几何的密切结合使我们觉得几何学会有一个革命性的改进，正如Gauss先生在二百年前的看法，我希望凭着我们从几何学唯美的直观能够帮助暸解大自然界的基本问题。
为数学而数学，实属显然，何须三思。于无用诸物理学之种种数学理论，均需一视同仁，与其它理论无分轩轾。
——Henri Poincaró

使余复稚年，童蒙初习，则愿从Plato之教晦，自数学始。
——Galilei Galileo

闲情UID：111016

丘成桐: 数学与科技


送交者: mathjs 2004年8月10日20:40:16 于 [教育与学术]http://www.bbsland.com  

  
数学与科技

丘成桐

由于促进中国与其它国家的科技交流而得到中国政府的表扬，本人深感荣幸。

我生于汕头, 长于香港，接受的是英国式的殖民地教育。可幸先父重视中国文化，把我送到中文中学就读。其后我肄业于香港中文大学。相对而言，在那里学到的数学和科学知识并不算很多，但却对中国文化有了一个比较全面的了解。

中国文化博大精深，对我有很大的影响。我引以自傲的是，祖国渊源流长、迄今犹自欣欣向荣的文明。我虽然毕生研究基础科学，但亦以推广、普及科学为己任，对与祖国有关的工作，尤其珍惜。

1969年离开香港时，我并没有拿任何护照。当时中国政府是否会和美国修好，还是一个谜。尼克松访华，我在电视上看到了，感到十分高兴。1979年华罗庚教授邀请我访问中国科学院。早在中学时，我已经读过不少华先生的著作，获益良多，他是我敬佩的人物。他的来函，令我有受宠若惊之感。

甫出机场，以手接触到首都的泥土，回到了祖国母亲的怀抱，使我心潮澎湃，激动万分。回想获颁数学上的菲尔兹奖时，我并无持有任何国家的护照，因此我是以堂堂正正中国人的身份去领奖的。

我为中国数学的发展出了不少力。不无遗憾的是，至今我尚未能回国定居。当然，我对中国数学的贡献，与在此间土生土长，或自海外归来，长期工作的同行相比，是微不足道的。

海外学者对国家发展种种意见，虽然每有精警之言，但也不必奉之为金科玉律，全盘接受。故此，本人谨就亲眼所见，亲耳所闻，略抒管窥之见，如有一二中的，则于愿足矣。

我国自从孔子开始，便建立了完整的教育体系，这是大家都知道的。从此教育不再是贵族的专利，这可是件石破天惊的大事。

及至汉代，地方举荐贤良文章之士于庙堂，于是乡党小子，亦有望大用于朝廷。这种颇为公允的做法，无远弗届，整个国家大一统的局面，或多或少亦由此而维系。值得一提的是，甚至外国人也曾在朝廷供任高职。

这种制度逐渐演变, 最后便形成考试制度了。在这种制度的早期──例如唐代──考试的范围还是颇为广泛的, 数学也包括在内。但在过去四百年间, 考试的范围便大大地缩窄了。大家以为熟读四书五经, 便足以治国平天下。因此，考试的知识面变得异常狭窄，国人思想上的原创力在这种钳制下，遂变得奄奄一息了。

重要的是，孔子以为知识是一种美德：

大学之道，在明明德，在新民，在止于至善。

虽然如此，孔子也传授实际的学问。他的门人当中，有的当上外交官，有的做生意，有的做了将军。希腊哲人Socratos(苏格拉底)也以知识为善。追求真善美乃是希腊教育的宗旨。在无畏的新时代(daunting new world)里，知识乃是人类通往幸福的钥匙。任何大国都必须长期投资于教育，不这样做，社会的进步只能是空谈。知识必须建基于1.道德伦理2.人文知识3.基础科学4.应用科学

自十九世纪中叶鸦片战争失败后，中国便深深感受到技术落后的弱点，尝试改革、现代化也不只一次了。当时主要的做法是造船、筑铁路、开矿、生产武器等等。经过了差不多两个世纪的努力与失误，到了今日，我们终于看到了中华民族复兴的契机。当前我国经济迅速发展，是近代史上空前的。但是，我们必须牢牢记住，汲取知识和应用知识，才是现代化的真正动力。

然而,发展中国家往往以为知识只指应用科学而言,人们追求立竿见影的效果,忽视长期的利益。我们必须认识到,只有基础科学,才是现代科技之母。中国的现代化,必须要意识到基础科学的重要性。

阿提亚教授(Michael Atiyah) 担任英国皇家学会会长时，曾对我说了这番话: 中国既望跻身经济大国之列，就必须雄心万丈，志不在小。日本维新之初，一意仿效西洋，但旋即改变方向，致力发展基础研究。美国虽是当今经济最强体，但它依然大力注资于科研。我想中国要与日本、美国分庭抗礼,就必须在各方面与它们并驾齐驱。

在这个世纪，有几门科技会发挥根本的作用，它们包括：信息技术、生命科学、能源科学、材料科学、环境科学、经济与金融、社会科学这几门学科互相渗透，它们同样依赖于基础科学的发展，因为后者指出了事物的根本原理。回顾历史，科技领域互相依赖，屡见不鲜。两门看似无关的领域，其中的概念一旦能成功地融合，肯定会产生灿烂的火花。

在十九世纪，人们看到了电学与磁学的结合；在二十世纪，人们看到了量子力学在化学上的应用，同时也看到了数学和物理如何应用于现代计算机，使之成为所有科学技术中不可或缺的工具。当前人们正在见证物理科学应用于生命科学。凡此种种，都是人类文明的伟大成就。

学科之间的融合，始于其基础部分。当融合完成之时，往往导致技术上的突破。对于带动或支持这些发展的国家，其在经济上的利益，是不可低估的。

在过去的两个世纪,欧洲各国因科学及技术而累积了大量的财富。二次世界大战导致大量科学家及工程人员移民美国。当今之世,美国的影响力可说是无远弗届。它空前的繁荣，实归功于技术工艺的进步，而后者多少源自其在基础科学的投资。美国公司和院校所拥有的大量专利权，都拜基础科学研究之赐。

一个国家的国力是否强盛，表现于其国民的科学知识水平，以及其吸引外来精英的能力。就以美国为例，很多在美国工作的海外人材，连英语都说不好。我认为中国应吸引非华裔人材来华工作，不管他们是否认识中国，毕竟科学是没有疆界的。只有不分中外，兼收并蓄，我们才能取得成功。在二十一世纪，数学会成为最基本的学科。数学会成为所有科学的框架，它不但是科学的语言，还有其本身的价值。

一.数学是基本语言

时空的语言是几何，天文学的语言是微积分，量子力学要透过算子理论来描述，而波动理论则靠Fourier分析来说明。数学家研究这些科目，最先都由于其本身之美所感召，但最后却发现这些科目背后，竟有些共通的特性。这个事实说明了看起来并不相关的科目，它们之间有甚多交缠互倚的地方。

语言是一种符号，用以传情达意，但是我们感情竟由于语言的不同而有不同的发展。举例来说：中国诗与西洋诗不同之处，在于前者着重每个单字的用法，每个单字都具有不同的意义。然而，就算在中国诗内，字体的多寡也左右了要表达的感情。古诗较随意，汉诗以五言为主，唐代则重七言，到了宋代，流行的便是长短句——词了。不同的体裁，微妙地反映和影响了不同朝代文人的感受。

因之，数学这个科学语言的研究改变了科学发展的航道。举例而言，对付立叶分析的理解越深入，我们就更能理解波的运动及图像的技巧。反之，现实世界也左右了数学的发展。波运动及其谱所显示的美，乃是这些科目发展的原动力。这些学科对现代技术及理论科学的影响极其深远。没有微积分这种起源于亚基米德的伟大语言，很难想象牛顿能发展古典力学。

毫无疑问，法拉第精通电学和磁学。但电磁学的完整理论要归功于麦克斯维方程。电磁学对光、无线电波和现代科学的研究是极为重要的。

二.数学是秩序的科学

除了作为一种语言，以及一门纯美的学科外，数学还是秩序的科学 (a science of order)。我们引一段美国数学学会前会长、哈佛教授格臣 (Andrew Gleason) 的说话:

数学乃是秩序的科学，它的目的是发现、刻划、了解外观复杂情况的秩序。数学中的概念，恰好能够描述这些秩序。数学家花了几百年来寻找最有效地描述这些秩序的精微曲折处。这种工具可用于外在世界，毕竟现实世界是种种复杂情况的缩影，其中包含大量的秩序。

由是观之，数学能大用于经济学，是毫不奇怪的。好几个诺贝尔经济学得奖者，其工作皆与数学有关。

三.作为工具的数学

大量重要的数学，原意是为解决工程上的问题。比如，维纳(N. Wiener) 及其弟子，是讯息科学的先驱。他们发展出来的如随机微分方程、维纳测度沦、熵论等，最终都远远超出它们原来的动机。Bucy-Kalman滤子理论在现在控制论中举足轻重，而冲击波则在飞机设计起着关键的作用。

四.数学作为纯美的学科

最纯粹的数学，要算是数论了。其根源可以追溯到古代巴比伦、希腊及其它国度。它精美绝伦，没有大数学家不曾为其倾倒。在过去二十年间，我们看到了数论在保安问题上的重要应用。解码学依赖于大量与因子分解为质数的问题。自我修正数码也依赖于代数几何学。

几何来源自土地测量及航海。虽然它确实解决了有关的问题，但它的功能远远超出了两者，它演变成为时空物理的基石。

差不多所有原先为追求纯美而发展的数学分枝，都在现实世界中找到重要的应用。

五.数学在工业中的应用

1995年工业与应用学会发表了一项报告。他们透过电话访问了工业界的七十五位经理。差不多有一半﹙49%﹚指出数学是他们必需的背景或工具。这些受访者的教育背景如下:

专业 博士 硕士

数学
16％
11％

工程
13％
6％

物理
13％
3％

统计/生物统计
9％
5％

商业/管理
0％
11％

计算机
0％
6％

化学/生物
0％
3％

这份报告也指出:数学的应用

代数与数论
解码学

计算流体力学
飞机及汽车设计

微分方程
空气动力学、渗流、金融

离散数学
通讯及讯息保安

形式系统及逻辑
计算保安、验算

几何
计算机工程及设计

最优化
资产投放、形状及系统设计

并行计算
天气预告模式、仿真

统计
试验设计、大量资料的分析

随机过程
讯号分析

六.中国数学概观

中国认识到现代科技的重要，这点是不容置疑的。过去十年间我国科技的惊人发展，就论文的数量而言，十分可观。单就数学一项，从下表可见，中国人发表文章的百分率，就从6%上升到10%﹙必须指出，所谓中国人包括居于世界各地的中国数学家，在美国侨居者不少﹚。

下面的表中所列的是美国数学会数学出版的《数学评论》上统计的中国数学家于1990年－2002年发表论文的数量及在所有数学论文中所占的比例：

Numbers of Papers -- Percentage within all published papers

1990
3472
6.1%

1991
3499
6.9％

1992
4158
7.1％

1993
4458
7.9％

1994
4654
8.1％

1995
5201
8.5％

1996
5369
8.6％

1997
5800
8.8％

1998
6399
9.6％

1999
6587
9.5％

2000
6677
9.6％

2001
6845
9.9％

2002
7239
10.4％

诚然，论文的多寡，可以视为研究频繁疏落的指标。然而细心审视下，可以看到发表于一流期刋的文章，毕竟只属少数。故此当务之急是提升论文的水平。国人工作能开拓一领域，或指出一重要方向者，寥若晨星。过份重视文章的数量，对研究有负面的效果。

我国数学家才华纵横，兼擅独造。早在五十年代末期，华罗庚教授及冯康教授已开拓了某些领域，走在世界的前沿。当时比较封闭的环境，

不但没有妨碍其工作，还使他们走出自己的道路。

政府过份依赖海外的学者，以他们马首是瞻，会对国内的才俊带来心理的包袱。试举一例子：

去年数学界宣传的大事，要数是拓朴学中的彭加莱猜想可望解决了。解决的方案基于对理察汉密尔顿(R. Hamilton)方程的研究。方案是Hamilton提出的，而可望由俄国人普雷尔曼(Perelman)完成。他对此问题苦思七年，但并没有引起人们的注意。

理察汉密尔顿与我份属老友。早在1996年，我就了解到他工作的重要性了。于是我跑回来，跟这里的同行说明了这方程的价值，并指出顺藤摸瓜，硕果累累，因此必须开展这方面的工作。我还让两位在香港的博士生，专程跑到北京来组织有关的研讨班。

意想不到的是，在北京的专家，却听从了旅美数学家﹙其中一位是我的学生，当时已是麻省理工的名教授﹚的意见，说汉密尔顿的文章太难懂，念后不划算，不顾一些优秀青年学者的意愿，硬要研讨班转到别的方向去。

顺便说一下，中国该领域的专家八十年代时是在我的指导下研习几何分析的（与哈密尔顿工作密切相关的领域）。事实上，他们八十年代在美国为我和舒恩的一些演讲作记录。该书的中文版比英文版早十年面世。一大群中国数学家阅读了此书，并撰写了大量论文。然而，由于炮制论文的驱动，他们仅研读了此书中的易懂部分，他们这行的带头人尚需探求中国自己的研究方向。

幸好在南方的人没受到北方的影响。中山大学的朱教授当时正在香港中文大学访问，他接受了挑战，开展了这方面的研究，深入地探讨这条方程式，最后得到一流的成果。遗憾的是，他尚未得到北方的认同。前年国际数学家大会在北京召开时，中国数学会推举了一名1小时报告者和六名45分钟的报告者，朱教授这五年来的工作不逊于作1小时的报告者（我从前的学生）而未被选取，可见在中国评审人才的困难。

我深信新世纪必有新学问,而数学亦会是其主要工具。我国数学家在其中会扮演关键的角色。我们要勇闯新天地,一旦决定自以为重要的方向时,便一往无前，不管能否发表大量的论文。

当今中国数学界面对的大难，便是缺乏领导者。陈省身老师德高望重，是国内仅存的世界级大师，但他已经年过九十了。为了解决这个问题，很多大学向海外招手，聘任一些访问教授，每年回来工作一两个月，而支付大量的薪酬。

我觉得学术上的带头人应该让国内的学者来当。当下许多大学竞相招揽名教授，并以此自炫。其实，这些名教授大都任教于海外，他们不可能全心致力于中国的学术发展。兼之，他们的学术成就，亦往往受到其国内同行的夸大。这种合作的模式，并不如外界看到的那样成功。不过，话说回来，我还是认为国际合作对中国是相当重要的。

中国可尝试邀请那些与中国并无渊源的学者来华定居。一种真正的国际化气氛，会把中国的科学提升到新的境界。

一个可行的办法，就是成立普林斯顿高等研究所式的机构。当年爱因斯坦及其他伟大的理论科学家，便是在普林斯顿进行研究，终其一生的。这个所必须具有崇高的使命，并面向全世界。在其中长期任职的，必须是学术上的殿堂人物，受到政府的尊敬。他们自然也不必局限于中国人。我希望中国能在短期内成为研究大国。

科学是堆砖头，数学家将之变成华厦。──彭加莱

诚然，没有砖头或有关的砖头的知识，便不可能有成功的设计。惟有数学家与其它科学家的紧密合作，才能为科学打下基础。我们应该鼓励数学家与其它科学家合作。数学的本性决定了，它会随着科学研究的需求而拓宽自身的领域，并会随着综合分析而更为深入。因此，在这个新世纪，数学将成为所有科学的中心。

genie05UID：30358

发信人: Cs_Chen (瞪大眼睛看世界)，原信区: ustcbbs
标  题: 中国数学发展之我见(丘成桐)
发信站: 中国科大BBS站 (Thu, 19 Mar 1998 21:18:12)，站内信件

                     中国数学发展之我见(丘成桐)

                               程艺教授 推荐自<<中国科学报>>'98 3.11.

    我们要谈中国数学的未来发展, 就要先看一下我们的过去. 我们中国人习惯
于讲自己很了不起, 事实上, 中国古代数学主要贡献在计算及其实用化, 我们算
圆周率算得位数很高, 但是对数学理论没有系统化的研究, 基本上抗拒几何学的
逻辑结构和发展抽象代数. 在我看来, 它们在中国从来没有生过根. 我们对传统
的科学有不合理的热爱, 结果不能接受新的观念, 也不能对应用数学做出贡献.
虽然我们对应用数学有疯狂的热情, 但由于我们不愿意学习基本的, 系统化的数
学理论, 结果对应用数学也不能做出伟大的贡献.

    中国近代数学能超越西方或与之并驾齐驱的主要原因有三个, 当然我不是说
其他工作不存在, 主要是讲能够在数学历史上很出名的有三个: 一个是陈省身教
授在示性类方面的工作, 一个是华罗庚在多复变函数方面的工作, 一个是冯康在
有限元计算方面的工作. 我为什么单讲华先生在多复变函数方面的工作, 这是我
个人的偏见. 华先生在数论方面的贡献是大的, 可是华先生在数论方面的工作不
能左右全世界在数论方面的发展, 他在这方面的工作基本上是从外面引进来的观
点和方法. 可是他在多复变函数方面的贡献比西方至少早了10年, 海外的数学家
都很尊重华先生在这方面的成就. 所以, 我们一定要找自己的方向, 我想这是一
个很重要的看法. 我们要从数学的根本上找研究方向, 我们近20年来基本上跟随
外国的潮流. 我们没有把基本的想法搞清楚, 所以始终达不到当年陈先生, 华先
生和冯先生他们的工作成就. 我想我们一定要找自己的方向, 可是我们在很多方
面的知识还是很缺乏. 我们一定要在了解了其他方面的发展后才能发展自己的方
向. 所以一方面要发展自己的方向, 一方面要了解其他的发展方向.

    分析方面我以为非线性微分方程是主要方向, 可是为了研究非线性方程, 对
线性方程和古典的调和分析基础一定要打好. 当然特殊函数, 傅里叶分析都是主
要工具. 可是非线性方程不宜做太一般的研究, 一定要与微分几何, 物理学以及
其他自然科学相结合, 由大自然指导我们研究. 双曲型方程无论线性, 非线性都
值得发展, 我们要发展自己的特色. 中国这十多年在守恒定律, 空气动力学方面
有一定的成就, 可是在高维没有贡献. 不仅中国没有贡献, 而且全世界没有贡献.
从数学分析上讲, 高维看见的动力系统很明显与几何有密切联系, 因为维数大了
的话, 有几何的意义在里面, 当然张量分析是研究高维空间的重要工具. 椭圆型
方程的奇异点问题也值得深入研究.

    离散化的动力系统和离散组合数学在应用科学方向起着很大的作用, 它们的
发展应该与上述的非线性方程力量平行. 近代自动化系统的研究和金融数学都有
很值得研究的随机性方程.

    从基本粒子方程推导流体力学方程是很有意义的一门学问, 流体力学中的奇
异点问题和湍流的研究将是未来一个很具挑战性的数学问题.

    几何方面我们其实有很多方面可以做研究的, 如: 爱因斯坦方程的深入研究,
极小化流形, 规范场等. 几何研究方面的重要突破需要深入的存在性定理. 三维
空间和四维空间的深入理论和方程的存在性理论有密切的关系. 同时, 古典中的
刚性问题, 嵌入问题, 曲面的构造问题都与工程学息息相关, 很值得研究.

    代数方面以代数几何, 数论为主. Hodge 猜想是主要的研究对象, 其与矢量
丛的关系也值得研究. 另外, 由弦理论引起的代数和数论问题也值得研究, 统一
场论将会做成数学的大一统, 很值得注意.

    数论方面以Langlands理论和算术几何为主要方向.

    最后, 我再说几句话. 我前面讲的主要与物理有关, 其实实际工作中很多问
题跟我们纯数学有很大关系. 举个例子讲, 我最近遇到几个曾是清华大学的学生,
他们现在在哈佛念工程专业. 他们跑来和我谈计算几何方面的问题, 如把图像运
动地表示出来等. 我发现这些学生由于念工程的缘故, 在微分几何方面没有得到
完全培训, 其实主要问题都是古典的几何问题. 念工程的学生没有得到基本的训
练, 他们对很多问题没有办法了解, 这时一个不幸的情景. 在本科时应该让他们
把一些基本课程练好, 很明显这和以后有关. 作一个图形表示问题很明显和古典
微分几何有关, 可是没有学好. 所以, 我希望学工程的人花一点时间在纯数学上
去, 我想打破门户之见是目前最重要的问题.

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※ 来源: 中国科大BBS站 [bbs.ustc.edu.cn]

outwitUID：2125096

收获很大

forrestjiangUID：2182445

太感谢了!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

carrot2000UID：12643

丘成桐
在哈佛的那个吧 很牛的

青春做伴UID：205600

Thanks for sharing

wangwei_gtUID：186713

很喜欢楼主的签名档，呵呵

tomorrowalrightUID：2182191

ding

tree_in_forestUID：2203562

要是能当老丘的学生就好了

salabomUID：2115099

他是我们学校d ^-^

http://www.math.cuhk.edu.hk/en/people/teaching_staff/teaching.php

yezhenyuUID：2201973

好文！
Thx for sharing！