问一个数学问题，牛人麻烦看一下~~（关于实数的比较原则）

annimalUID: 2616512

就是实数的比较原则是设A=a0.a1a2a3a4a5a6.......B=b0.b1b2b3b4b5b6,如果要比较A和B，就是从整数位开始比，如果一样就往后一位，再一样就再往后一位，这样直到有一位a=!b, 这样比出A和B的大小。
我想问一下1.如果A=1，B=0.9的循环，那么按照上面的比法，实际上不就是说1》0.9的循环吗？但是平常我们不都是认为这两个是相等的吗？
2.在证明实数的完备性的时候我觉得实质也就是用了上面1>0.9的循环吧？还有举个例子：比如集合A=(0，1)，我要证明A的上上确界是1，按照定义我就要任取一个小于1的数b,都存在a属于A且 a>b, 定理在证明的时候说b不可以取0.9的循环，因为0.9的循环不是实数？我这里不明白如果1>0.9的循环为什么b不可以取0.9的循环。

谢谢！

azzurri-sfyUID: 2664675

实数的十进制表示不是唯一的，so 1=0.9循环

annimalUID: 2616512

实数的十进制表示不是唯一的，so 1=0.9循环
azzurri-sfy 发表于 2011-1-18 23:23

不是很明白。。。
如果按您说的，1=0.9的循环，那么上面的实数比较原则不就不成立了？

xitheoryUID: 2852583

成立啊，设
（1）x=0.9的循环
则（2）10x=9+0.9的循环
(2)-(1) => 9x=9
=> x=1
所以0.9的循环就是1

annimalUID: 2616512

成立啊，设
（1）x=0.9的循环
则（2）10x=9+0.9的循环
(2)-(1) => 9x=9
=> x=1
所以0.9的循环就是1
xitheory 发表于 2011-1-19 00:04

您说的求法我知道。。。
但是我说的是根据实数的比较原则，两个数相比的时候，先比整数位，然后比小数第一位。。。一直比下去，直到两个数有一位不相等，则这位大的那个实数大。。。
实数的完备性的证明（有界则有确界）利用了上面的原则。
这两个我觉得有些矛盾，要怎么解释？

azzurri-sfyUID: 2664675

。。。你应该看看什么是实数的十进制表示。。。

http://en.wikipedia.org/wiki/Decimal_representation

azzurri-sfyUID: 2664675

另外关于完备性。。。你也可以说 实数 是由 有理数完备化所得的结果。。。所以完备性之类的没啥可证的

annimalUID: 2616512

。。。你应该看看什么是实数的十进制表示。。。

http://en.wikipedia.org/wiki/Decimal_representation
azzurri-sfy 发表于 2011-1-19 00:34

您说的是这段吗？
Some real numbers have two infinite decimal representations. For example, the number 1 may be equally represented by 1.000... as by 0.999... (where the infinite sequences of digits 0 and 9, respectively, are represented by "..."). Conventionally, the version with zero digits is preferred; by omitting the infinite sequence of zero digits, removing any final zero digits and a possible final decimal point, a normalized finite decimal representation is obtained

它只是说数字1有2种表示，并没有说清为什么呀。。
而且我知道1=0.9循环的证明，但是我想问的是它与实数的比较原则为什么看起来有所矛盾？

annimalUID: 2616512

另外关于完备性。。。你也可以说 实数 是由 有理数完备化所得的结果。。。所以完备性之类的没啥可证的
azzurri-sfy 发表于 2011-1-19 00:35

我觉得除了最基本的集合概念，所有的定理都需要证明吧，尤其是这种重要的（有界必有确界或者另一种说法是实数是连续的，没有断点）。

mystconquerorUID: 2852398

实数的比较原则是a-b>0,那么a>b,这是最基本的，其他的比较方法都是从这个原则衍生出来的，如果有矛盾，以前者为准
实数是由有理数构造出来的，也就是有理数完备化得到的，构造过程就是完备性的证明。
十进制小数只是一种表示方式而已，不涉及到本质性概念，不要让表示方式局限了思维过程。
1和0.99999999...是相等的，就相当于2和1+1是相等的，一个是偏重结果，一个偏重过程(无限循环小数其实就是无穷级数)。

lostconchUID: 2473832

I think that 0.9999... should be regarded as  a Cauchy sequence converging to 1, instead of a "concrete" real number. In this sense it is equal to 1. In fact, the completeness of real line is based on equivalence classes of Cauchy sequences, not real numbers. So it doesnt make sense to compare 1 and 0.9999...